Một vật dao động xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình x = 1 , 5 cos ( πt/ 4 ) trong đó t là thời gian được tính bằng giây và quãng đường h = | x | được tính bằng mét

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) Đ

 

Ta có: \[h = \left| x \right| = \left| {1,5\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right)} \right| \le 1,5.\]

a) Vậy ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \[h = 1,5{\rm{ m}}\].

Khi đó \[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = \pm 1\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{t\pi }}{4} = k2\pi \\\frac{{t\pi }}{4} = \pi + k2\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8k\\t = 4 + 8k\end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

b) Trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm \[t = 0;\]

\[t = 4;t = 8\] giây.

c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì \[x = 0 \Leftrightarrow 1,5\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow t = 2 + 4k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

d) Ta có: \[0 < t < 20 \Leftrightarrow 0 < 2 + 4k < 20\]\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{{18}}{4}.\]

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\]. Do đó, \[t \in \left\{ {2;6;10;14;18} \right\}\].

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm \[t = 2;{\rm{ }}t = 6;{\rm{ }}t = 10;{\rm{ }}t = 14;{\rm{ }}t = 18\] giây; tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.