Một vật dao động điều hoà có phương trình x = 5 cos ( pi t + pi/2 )

12/22

Một vật dao động điều hoà có phương trình \(x = 5\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\) trong đó li độ \(x\) tính bằng cm và thời gian \(t\) tính bằng giây. Xét thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất, li độ \(x\) khi đó bằng

\(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\;{\rm{cm}}\).

\(0\;{\rm{cm}}\).

\(5\;{\rm{cm}}\).

\( - 5\;{\rm{cm}}\).

Giải thích

Hàm gia tốc \(a\left( t \right)\) là đạo hàm cấp hai của hàm li độ \(x\left( t \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}x'\left( t \right) = - 5\pi \sin \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\\a\left( t \right) = x''\left( t \right) = - 5{\pi ^2}\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)\end{array}\)

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\) nên ta có \( - 5{\pi ^2} \le a\left( t \right) \le 5{\pi ^2}\)

\(\max a\left( t \right) = 5{\pi ^2}\) đạt được khi \[\cos \left( {\pi t + \frac{\pi }{2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \pi t + \frac{\pi }{2} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} + 2k\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vì thời gian \(t \ge 0\) nên thời điểm đầu tiên vật có gia tốc lớn nhất là \(t = \frac{1}{2}\) (giây) (ứng với \(k = 0\))

Khi đó li độ \(x = 5\cos \left( {\pi .\frac{1}{2} + \frac{\pi }{2}} \right) = - 5\)(cm).