Một vật chuyển động trên một đường thẳng nằm ngang chiều dương hướng sang phải sao cho toạ độ của vật (đơn vị: mét) tại thời điểm

a) Hàm vận tốc tức thời \(v\left( t \right)\) là đạo hàm bậc nhất của hàm vị trí \(s\left( t \right)\) nên \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t - 9\).

b) Tìm vận tốc lớn nhất trên đoạn \(\left[ {0;5} \right]\):

Hàm số \(v\left( t \right) = - 3{t^2} + 12t - 9\) là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới.

Đạo hàm của vận tốc: \(v'\left( t \right) = - 6t + 12\). Ta có \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \in \left[ {0;5} \right]\).

Tính các giá trị tại biên và tại đỉnh:

\(v\left( 0 \right) = - 9{\rm{\;m/s}}\); \(v\left( 2 \right) = - 3 \cdot {2^2} + 12 \cdot 2 - 9 = 3{\rm{\;m/s}}\); \(v\left( 5 \right) = - 3 \cdot {5^2} + 12 \cdot 5 - 9 = - 24{\rm{\;m/s}}\).

Vậy vận tốc tức thời lớn nhất của vật trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) đến \(t = 5\) giây là \(3{\rm{\;m/s}}\) (đạt được tại \(t = 2\) giây).

c) Để tính quãng đường vật đi được, ta cần chú ý xem vật có đổi chiều chuyển động hay không bằng cách xét dấu của vận tốc \(v\left( t \right)\), ta có: \(v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 12t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1\) hoặc \(t = 3\).

Trong khoảng thời gian \(\left[ {0;5} \right]\), vật đổi chiều tại hai thời điểm \(t = 1\) và \(t = 3\).

Trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\): \(v\left( t \right) < 0\) (vật đi ngược chiều dương).

Trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\): \(v\left( t \right) > 0\) (vật đi theo chiều dương).

Trên khoảng \(\left( {3;5} \right)\): \(v\left( t \right) < 0\) (vật đi ngược chiều dương).

Quãng đường tổng cộng vật đi được tính bằng tổng trị tuyệt đối các hiệu vị trí:

\(S = \left| {s\left( 1 \right) - s\left( 0 \right)} \right| + \left| {s\left( 3 \right) - s\left( 1 \right)} \right| + \left| {s\left( 5 \right) - s\left( 3 \right)} \right|\)

Ta tính các giá trị vị trí tại các mốc thời gian: \(s\left( 0 \right) = 3\); \(s\left( 1 \right) = - {1^3} + 6 \cdot {1^2} - 9 \cdot 1 + 3 = - 1\);

\(s\left( 3 \right) = - {3^3} + 6 \cdot {3^2} - 9 \cdot 3 + 3 = 3\); \(s\left( 5 \right) = - {5^3} + 6 \cdot {5^2} - 9 \cdot 5 + 3 = - 17\).

Do đó: \(S = \left| { - 1 - 3} \right| + \left| {3 - \left( { - 1} \right)} \right| + \left| { - 17 - 3} \right| = \left| { - 4} \right| + \left| 4 \right| + \left| { - 20} \right| = 4 + 4 + 20 = 28{\rm{\;m}}\).

Vậy quãng đường vật đi được là \(28{\rm{\;m}}\).