Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là

a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 4 là

\(\int\limits_1^4 {v\left( t \right)} dt = \int\limits_1^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)} dt\)\( = \int\limits_1^4 {{t^2}} dt - \int\limits_1^4 t dt - 6\int\limits_1^4 {dt} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)} \right|_1^4\)\( = - \frac{{32}}{3} + \frac{{37}}{6} = - \frac{9}{2}\).

b) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là

\(\int\limits_1^4 {\left| {v\left( t \right)} \right|} dt\)\( = \int\limits_1^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|} dt\)\( = \int\limits_1^3 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|} dt + \int\limits_3^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|} dt\)

\( = - \int\limits_1^3 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)} dt + \int\limits_3^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)} dt\)\( = - \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)} \right|_1^3 + \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)} \right|_3^4\)\( = \frac{{27}}{2} - \frac{{37}}{6} - \frac{{32}}{3} + \frac{{27}}{2} = \frac{{61}}{6}\).