Một vật bắt đầu chuyển động có vận tốc v(t) = 2t^3 - 15t^2 + 24t + 20 (m/s). Hỏi trong 5 giây đầu tiên, quãng đường vật đi được cho đến khi đạt vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?

Giải chi tiết:

Xét hàm số \(f(t) = 2{t^3} - 15{t^2} + 24t + 20\) trên đoạn \[\left[ {0;{\rm{ }}5} \right].\]

\(f'(t) = 6{t^2} - 30t + 24;f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = 4}\end{array}} \right]\)

\(f(0) = 20;f(1) = 31;f(4) = 4;f(5) = 15\)

Do đó \({\max _{[0;5]}}f(t) = f(1) = 31\)

Quãng đường đi được từ lúc vật tăng tốc đến khi đạt vận tốc lớn nhất là:

\(S = \int_0^1 {(2{t^3} - 15{t^2} + 24t + 20)} {\mkern 1mu} dt = \left( {\frac{1}{2}{t^4} - 5{t^3} + 12{t^2} + 20t} \right)|_0^1 = \frac{{55}}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: D