Một vận động viên điền kinh đang chạy trên một đoạn đường thẳng thì thấy một vận động viên đua xe đạp ở phía trước với khoảng cách 40 m. Từ thời điểm này, vận động viên điền kinh

15/22

Một vận động viên điền kinh đang chạy trên một đoạn đường thẳng thì thấy một vận động viên đua xe đạp ở phía trước với khoảng cách $40m$. Từ thời điểm này, vận động viên điền kinh và vận động viên đua xe đạp chuyển động cùng chiều với hàm vận tốc theo thời gian lần lượt là ${v_1}\left( t \right) = 8{e^{ - 0,1t}}{\rm{\;}}m/s$và ${v_2}\left( t \right) = 12 - 12{e^{ - 0,1t}}{\rm{\;}}m/s$ ($t$ được tính bằng giây với $0 \le t \le 60$).

$a) Đúng. Tập xác định của hàm số đã cho là $\mathbb{R}$. (ảnh 1)$

Tại thời điểm ban đầu $t = 0$ giây, vận tốc vận động viên đua xe đạp là $12m/s$.

ĐúngSai

Tốc độ của vận động viên điền kinh giảm dần theo thời gian, trong khi tốc độ của vận động viên đua xe đạp tăng dần theo thời gian.

ĐúngSai

Hai vận động viên gần nhau nhất ở thời điểm $8$giây kể từ thời điểm ban đầu $t = 0$ giây.

ĐúngSai

Vận động viên điền kinh sẽ không bắt kịp được vận động viên đua xe đạp và khoảng cách ngắn nhất giữa họ là $21,3m$(làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

ĐúngSai

Giải thích

Chọn a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

a) Sai.

Vận tốc ban đầu của vận động viên đua xe đạp là ${v_2}\left( 0 \right) = 12 - 12{e^0} = 0$m/s.

b) Đúng.

Ta có: ${v'_1}\left( t \right) = - 0,1 \cdot 8{e^{ - 0,1t}} < 0,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,\,60} \right].$ Suy ra tốc độ vận động viên điền kinh giảm dần theo thời gian.

Ta có: ${v'_2}\left( t \right) = - 0,1 \cdot \left( { - 12} \right){e^{ - 0,1t}} = 1,2{e^{ - 0,1t}} > 0,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,\,60} \right].$ Suy ra tốc độ của vận động viên đua xe đạp tăng dần theo thời gian.

c) Sai.

Khoảng cách giữa hai người là $s\left( t \right) = 40 + \int\limits_0^t {\left[ {{v_2}\left( t \right) - {v_1}\left( t \right)} \right]} dt$.

Ta có $s'\left( t \right) = {v_2}\left( t \right) - {v_1}\left( t \right)\,;\,\,s'\left( t \right) = 0 \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = {v_1}\left( t \right)$.

Giải phương trình này, ta có: $12 - 12{e^{ - 0,1t}} = 8{e^{ - 0,1t}}$ $ \Leftrightarrow 12 = 20{e^{ - 0,1t}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{12}}{{20}} = {e^{ - 0,1t}}$ $ \Leftrightarrow {\rm{ln}}\frac{{12}}{{20}} = - 0,1t$ $ \Leftrightarrow t = \frac{{{\rm{ln}}\frac{{12}}{{20}}}}{{ - 0,1}} \approx 5,1\,\,\,\left( s \right)$.

Bảng biến thiên:

$a) Đúng. Tập xác định của hàm số đã cho là $\mathbb{R}$. (ảnh 2)$

Vậy hai người ở gần nhau nhất khi cuộc đua diễn ra khoảng $5,1$giây kể từ lúc bắt đầu.

d) Đúng.

Từ bảng biến thiên, ta thấy khoảng cách ngắn nhất giữa hai người là $21,3m$; kể từ thời điềm gần nhất đó, vận động viên điền kinh dần bị bỏ lại phía sau và người này không thể bắt kịp được vận động viên dua xe đạp nữa.