Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất ở vị trí A để ngắm các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng mục tiêu B cách mặt đất 40m tại góc ngắm α (góc hợ

Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ bức tường xuống mặt đất phẳng nằm ngang. Khi đó:

Khoảng cách từ vận động viên đến bức tường là đoạn \(AH = x\) (\(x > 0\)).

Độ cao mục tiêu \(B\) là \(BH = 40{\rm{m}}\).

Độ cao mục tiêu \(C\) là \(CH = 90{\rm{m}}\).

Xét các tam giác vuông \(AHB\) và \(AHC\) vuông tại \(H\):

           \({\rm{tan}}\alpha  = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{40}}{x}\);

          \({\rm{tan}}2\alpha  = \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{90}}{x}\).

Sử dụng công thức nhân đôi cho hàm tang: \({\rm{tan}}2\alpha  = \frac{{2{\rm{tan}}\alpha }}{{1 - {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha }}\).

Thay các tỉ số lượng giác vừa tìm được ở trên vào công thức:

\(\frac{{90}}{x} = \frac{{2 \cdot \frac{{40}}{x}}}{{1 - {{\left( {\frac{{40}}{x}} \right)}^2}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{90}}{x} = \frac{{\frac{{80}}{x}}}{{1 - \frac{{1600}}{{{x^2}}}}}\).

Vì \(x > 0\), ta rút gọn bớt \(\frac{1}{x}\) ở cả hai vế:

\(90 = \frac{{80}}{{1 - \frac{{1600}}{{{x^2}}}}}\)\( \Leftrightarrow 90\left( {1 - \frac{{1600}}{{{x^2}}}} \right) = 80\)\( \Leftrightarrow 1 - \frac{{1600}}{{{x^2}}} = \frac{{80}}{{90}} = \frac{8}{9}\)\( \Leftrightarrow \frac{{1600}}{{{x^2}}} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = 1600 \cdot 9 = 14400 \Rightarrow x = \sqrt {14400}  = 120{\rm{m}}\left( {{\rm{do\;}}x > 0} \right)\)

Vậy khoảng cách từ vận động viên đến bức tường bằng \(120{\rm{m}}\).