Một ứng dụng mạng xã hội mới ra mắt, số lượng người dùng đăng kí tuân theo quy luật và được cho bởi hàm số f(t) = 3000 / (1 + 3e^(−t)), t ≥ 0.

32/40

Một ứng dụng mạng xã hội mới ra mắt, số lượng người dùng đăng kí tuân theo quy luật và được cho bởi hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{3000}}{{1 + 3{e^{ - t}}}},t \ge 0\), trong đó \(t\) tính bằng năm kể từ khi ra mắt. Khi đó \(f'\left( t \right)\) cho biết tốc độ tăng trưởng người dùng. Hỏi sau bao nhiêu năm kể từ khi ra mắt thì tốc độ tăng trưởng người dùng đạt mức cao nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp án: ____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có: \(f\left( t \right) = \frac{{3\,000}}{{1 + 3{{\rm{e}}^{ - t}}}} = \frac{{3\,000{{\rm{e}}^t}}}{{{{\rm{e}}^t} + 3}}\)\( \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{9\,000{e^t}}}{{{{\left( {{e^t} + 3} \right)}^2}}}.\)

Tốc độ tăng trưởng người dùng lớn nhất tức là \(f'\left( t \right)\) lớn nhất.

Xét hàm số \(h\left( t \right) = f'\left( t \right) = \frac{{9\,000{e^t}}}{{{{\left( {{e^t} + 3} \right)}^2}}}\), \(t \ge 0\)

Ta có: \(h'\left( t \right) = \frac{{{{\left( {9000{e^t}} \right)}^\prime } \cdot {{\left( {{e^t} + 3} \right)}^2} - 2\left( {{e^t} + 3} \right) \cdot {{\left( {{e^t} + 3} \right)}^\prime } \cdot 9000{e^t}}}{{{{\left( {{e^t} + 3} \right)}^4}}} = \frac{{9000{e^t} \cdot \left( {3 - {e^t}} \right)}}{{{{\left( {{e^t} + 3} \right)}^3}}}\)

\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 3 - {e^t} = 0 \Leftrightarrow {e^t} = 3 \Leftrightarrow t = \ln 3\).

Từ bảng biến thiên của hàm số \(h\left( t \right)\), với \(t \ge 0\) suy ra tốc độ tăng trưởng người dùng \(h\left( t \right)\) lớn nhất khi\(t = \ln 3 \approx 1,1\)

Vậy sau khi ra mắt khoảng \(t = \ln 3 \approx 1,1\) năm thì thì tốc độ tăng trưởng người dùng là lớn nhất.

Đáp án cần nhập là: 1,1.