Một túi chứa ba quả bóng được đánh số 1 , 2 và 3 . Bạn An chọn ngẫu nhiên một trong các quả bóng này và ghi lại số trên quả bóng được chọn.

Gọi \(A,B,C\) lần lượt là các biến cố bạn An chọn quả bóng mang số \(1,\,\,2\,\,v\`a \,\,3\).

Gọi \(D\)là biến cố không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa, tức là tất cả các đồng xu đều xuất hiện mặt sấp, suy ra \(\overline D \) là biến cố có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa.

Ta xét sơ đồ cây sau đây

 a) Xác suất để không có mặt ngửa nào xuất hiện là:

\(P\left( D \right) = P\left( A \right).P\left( {\left. D \right|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {\left. D \right|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {\left. D \right|C} \right)\, = \,\frac{1}{3}.\frac{1}{2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{3}.\frac{1}{8} = \frac{7}{{24}}\).

Do đó a) Đúng.

 b) Gọi E là biến cố để 2 đồng xu xuất hiện mặt ngửa và 1 đồng xu xuất hiện mặt sấp:

\(P\left( {\left. E \right|A} \right) = P\left( {\left. E \right|B} \right) = 0\) ; \(P\left( {\left. E \right|C} \right) = \frac{3}{8}\,\)

\(P\left( E \right)\, = P\left( A \right).P\left( {\left. E \right|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {\left. E \right|B} \right) + P\left( C \right).P\left( {\left. E \right|C} \right)\)\( = 0 + 0 + \frac{1}{3}.\frac{3}{8} = \frac{1}{8}\) suy ra b) Sai.

c) Biết rằng không có mặt ngửa nào xuất hiện, xác suất An tung 2 đồng xu là

\(P\left( {\left. B \right|D} \right) = \frac{{P\left( {BD} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{{24}}}} = \frac{2}{7}\) . Suy ra c) Đúng.

d)  Biết rằng luôn có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa, xác suất để An bốc được quả bóng đánh số 3 là: \(P\left( {\left. C \right|\overline D } \right) = \frac{{P\left( {C\overline D } \right)}}{{P\left( {\overline D } \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{7}{8}}}{{1 - \frac{7}{{24}}}} = \frac{7}{{17}}\). Suy ra d) Sai.