Một túi chứa ba đồng xu công bằng (fair coin - tức đồng xu có đủ hai mặt sấp ngửa) và một đồng xu có hai mặt ngửa (double-heađe coin). Một đồng xu được chọn ngẫu nhiên từ túi và được gieo để

a) Sai. Gọi A là biến cố:” đồng xu fair coin được chọn”;

B là biến cố:”Mặt sấp xuất hiện khi gieo đồng xu”.

\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{3}{4}.\frac{1}{2} = \frac{3}{8}\).

b) Đúng. Ta có \(P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right).P\left( {\left. {\overline B } \right|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {\left. {\overline B } \right|\overline A } \right) = \frac{3}{4}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}.1 = \frac{5}{8}\).

c ) Sai. Ta có \(P\left( {\left. {\overline A } \right|\overline B } \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right)P\left( {\left. {\overline B } \right|\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline B } \right)}} = \frac{{\frac{1}{4}.1}}{{\frac{5}{8}}} = \frac{2}{5}\).

d) Đúng. Gọi C: “lần đầu xuất hiện mặt ngửa”;D:” lần 2 xuất hiện mặt ngửa”.

Ta có \(P\left( {\left. D \right|C} \right) = \frac{{P\left( {D \cap C} \right)}}{{P\left( C \right)}}\).

Ta tính \(P\left( {D \cap C} \right)\).

TH1: lần 1 chọn được đồng xu fair coin.

+) Xác suất chọn được 1 đồng xu fair coin là \(\frac{3}{4}\).

+) Xác suất khi gieo 1 đồng xu fair coin lần đầu xuất hiện mặt ngửa là \(\frac{1}{2}\).

+) Xác suất khi gieo 1 đồng xu fair coin lần hai xuất hiện mặt ngửa là \(\frac{1}{2}\).

Vậy xác suất để lần 1 xuất hiện mặt ngửa và lần hai ngửa là \(\frac{3}{4}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{3}{{16}}\).

TH2: Lần 1 chọn được đồng xu double-heađe coin.

Tương tự TH1

Xác suất để lần 1 xuất hiện mặt ngửa và lần hai ngửa là \(\frac{1}{4}.1.1 = \frac{1}{4}\).

\(P\left( {D \cap C} \right) = \frac{3}{{16}} + \frac{1}{4} = \frac{7}{{16}}\).

Vậy \(P\left( {D|C} \right) = \frac{{P\left( {D \cap C} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{7}{{16}}}}{{\frac{5}{8}}} = \frac{7}{{10}}\).