Một trung tâm thương mại có 100 gian hàng. Nếu mỗi gian hàng của trung tâm cho thuê với giá 1 000 000 000 đồng/1 năm thì tất cả các gian hàng đều được thuê hết. Biết rằng, cứ mỗi lần tăng 5%

Gọi giá tiền mỗi gian hàng tăng lên \[x\] (triệu đồng) (ĐK: \[x > 0\])

Khi đó giá mỗi gian hàng sau khi tăng lên là \[100 + x\] (triệu đồng).

Cứ mỗi lần tăng \[5\% \] tiền thuê mỗi gian hàng (tăng \[5\% .100 = 5\] triệu đồng) thì có thêm 2 gian hàng trống nên khi tăng \[x\] (triệu đồng) thì có thêm \[\frac{{2x}}{5}\] gian hàng trống.

Khi đó số gian hàng được thuê sau khi tăng giá là \[100 - \frac{{2x}}{5}\] (gian hàng).

Số tiền thu được là \[\left( {100 + x} \right)\left( {100 - \frac{{2x}}{5}} \right)\] (triệu đồng).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm \[x\] để \[P = \left( {100 + x} \right)\left( {100 - \frac{{2x}}{5}} \right)\] đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:

\[P = \left( {100 + x} \right)\left( {100 - \frac{{2x}}{5}} \right)\]

\[ = 10000 - 40x + 100x - \frac{{2{x^2}}}{5}\]

\[ = - \frac{2}{5}\left( {{x^2} - 150x} \right) + 10000\]

\[ = - \frac{2}{5}\left( {{x^2} - 2.75x + {{75}^2}} \right) + \frac{2}{5}{.75^2} + 10000\]

\[ = - \frac{2}{5}{\left( {x - 75} \right)^2} + 12250\]

Ta có: \[{\left( {x - 75} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[x\]

Nên \[ - \frac{2}{5}{\left( {x - 75} \right)^2} \le 0\]

Suy ra \[ - \frac{2}{5}{\left( {x - 75} \right)^2} + 12250 \le 12250\]

Hay \[P \le 12250\].

Dấu “=” xảy ra khi \[x = 75\] (thỏa mãn).

Vậy người quản lí phải cho thuê mỗi gian hàng với giá \[100 + 75 = 175\] triệu đồng thì doanh thu của trung tâm thương mại từ tiền cho thuê gian hàng trong năm là lớn nhất.