Một trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là:

Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là \(d:\,\,y = x + 1;\,d':\,\,x = - 1\). Trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Giao điểm của hai đường tiệm cận là \(M\left( { - 1\,;0} \right)\); ta lấy \(N\left( {0\,;1} \right) \in d \Rightarrow MN = \sqrt 2 \).

Xác định điểm \(P\left( { - 1;y} \right) \in d'\) sao cho: \(MP = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| y \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 2 \).

+ Trường hợp 1: \(P\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\), khi đó phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số sẽ đi qua điểm \(M\left( { - 1\,;0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {NP} = \left( { - 1;\sqrt 2 - 1} \right)\) nên có phương trình là \(\Delta : - 1\left( {x + 1} \right) + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 0 \Leftrightarrow y = \left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\tan \frac{{3\pi }}{8}\).

+ Trường hợp 2: \(P\left( { - 1; - \sqrt 2 } \right)\), khi đó phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số sẽ đi qua điểm \(M\left( { - 1\,;0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {NP} = \left( { - 1; - \sqrt 2 - 1} \right)\) nên có phương trình là \(\Delta ': - 1\left( {x + 1} \right) + \left( { - \sqrt 2 - 1} \right)y = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt 2 + 1}} = - \left( {x + 1} \right)\cot \frac{{3\pi }}{8}\). Chọn B.