Một trang trại quy hoạch trồng bưởi da xanh và cam sành trên tổng diện tích tối đa là 10 ha.

Đáp án: 370

Gọi diện tích trồng bưởi da xanh và cam sành lần lượt là \(x,y\,\,\left( {x,y \ge 0} \right)\), đơn vị: ha.

Lập luận để tìm ra hệ bất phương trình:

Do trang trại quy hoạch trồng bưởi da xanh và cam sành trên tổng diện tích tối đa là 10 ha nên \(x + y \le 10\).

Để trồng 1 ha bưởi da xanh cần 20 công lao động và 1 ha cam sành cần 10 công lao động, mà trang trại hiện có tối đa 160 công lao động nên \(20x + 10y \le 160\)\( \Leftrightarrow 2x + y \le 16\).

Để trồng 1 ha bưởi da xanh cần 20 triệu đồng tiền vốn và 1 ha cam sành cần 30 triệu đồng tiền vốn, mà trang trại hiện có nguồn vốn đầu tư không vượt quá 270 triệu đồng nên \(20x + 30y \le 270\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y \le 27\).

Lợi nhuận thu được ước tính là 30 triệu/ha bưởi da xanh và 40 triệu/ha cam sành nên ta có hàm lợi nhuận là: \(F\left( {x,y} \right) = 30x + 40y\) (triệu đồng).

Khi đó bài toán trở thành: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\2x + y \le 16\\2x + 3y \le 27\end{array} \right.\). Tìm GTLN của \(F\left( {x,y} \right) = 30x + 40y\).

Biểu diễn miền nghiệm là ngũ giác \(OABCD\) (phần màu xám) kể cả bờ với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;9} \right),B\left( {3;7} \right),C\left( {6;4} \right),D\left( {8;0} \right)\).

Ta tính được F lớn nhất tại B: \(F\left( B \right) = 30 \cdot 3 + 40 \cdot 7 = 370\).