Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích  để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu bằng chiều rộng

Gọi chiều rộng (và chiều sâu) của hầm là \(x\) (\(m\); \(x > 0\))

Gọi chiều dài của hầm là \(y\) (\(m\); \(y > 0\))

Thể tích của hầm là: \(V = x.x.y = 27\,\)\(\left( {{m^3}} \right)\).

Suy ra \(y = \frac{{27}}{{{x^2}}}\) \((m)\).

Biểu thức biểu thị diện tích toàn phần của hầm là:

\(2x \cdot x + 2x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} + 2 \cdot x \cdot \frac{{27}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} = 2\left( {{x^2} + \frac{{54}}{x}} \right) = 2 \cdot A\).

Ta có: \(A + 9 = {x^2} + \frac{{27}}{x} + \frac{{27}}{x} + 9\)

\({\left( {\sqrt {{x^2}}  - \sqrt {\frac{{27}}{x}} } \right)^2} \ge 0\) nên \({x^2} + \frac{{27}}{x} \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \frac{{27}}{x}} \)

\[{\left( {\sqrt {\frac{{27}}{x}}  - \sqrt 9 } \right)^2} \ge 0\] nên \[\frac{{27}}{x} + 9 \ge 2\sqrt {\frac{{27}}{x} \cdot 9} \]

Suy ra \(A + 9 \ge 2\sqrt {{x^2} \cdot \frac{{27}}{x}}  + 2\sqrt {\frac{{27}}{x} \cdot 9} \)

\(A + 9 \ge 2\sqrt {27x}  + 2\sqrt {\frac{{27 \cdot 9}}{x}} \).

\(A + 9 \ge 4\sqrt {\sqrt {27x}  \cdot \sqrt {\frac{{27 \cdot 9}}{x}} }  = 4 \cdot 9\)

\(A + 9 \ge 36\)

\(A \ge 27\)

Đẳng thức xảy ra khi \({x^2} = \frac{{27}}{x} = 9\) nên \(x = 3\).

Vậy khi chiều rộng là \(3\,m\) và chiều dài là \(\frac{{27}}{{{3^2}}} = 3\,\,\left( m \right)\) thi công hầm sẽ tiết kiệm nguyên liệu nhất.