Một trạm thu phát song điện thoại di động có bán kính phủ sóng \(3\,km\) được đặt tại vị trí \(I\left( { - 2;1} \right)\)trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét)

Ranh giới vùng phủ sóng là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\) bán kính \(3\,km\).

Phương trình đường tròn đó là: \(\left( C \right):\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\).

Giả sử người đó di chuyển khoảng cách ngắn nhất (tính theo đường chim bay) từ vị trí \(B\) đến vị trí \(A\) thuộc vùng phủ sóng thì \(A\) là giao điểm của đường thẳng \(BI\) và đường tròn \(\left( C \right)\) và \(A\) thuộc góc phần tư thứ (II) trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có \(\overrightarrow {BI}  = \left( {1; - 3} \right)\) suy ra vecto pháp tuyến của đường thẳng \(BI\) là \(\overrightarrow n  = \left( {3;1} \right)\).

Suy ra phương trình tổng quát của \(BI\) là: \(\left( {BI} \right):\,3x + y + 5 = 0\).

Tọa độ của \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 5 = 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\\y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{20 + 3\sqrt {10} }}{{10}}\\y = \frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - \frac{{20 + 3\sqrt {10} }}{{10}};\frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)\).

\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - \frac{{20 + 3\sqrt {10} }}{{10}} + 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}} - 1} \right)}^2}}  = 3\).

Vậy khoảng cách ngắn nhất (tính theo đường chim bay) để một người đang ở vị trí \(B\left( { - 3;4} \right)\) di chuyển được tới vùng phủ sóng là \(3\,km\).