Một tòa nhà có kiến cấu như hình bên dưới. Biết rằng chiều cao tòa nhà
16/22
Một tòa nhà có kiến cấu như hình bên dưới. Biết rằng chiều cao tòa nhà là \(48\) \(\left( {\rm{m}} \right)\). Cắt ngôi nhà bởi một mặt phẳng song song với mặt đất thì được thiết diện là các hình vuông. Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với đáy của nó và đi qua đường chéo hình vuông hai đáy ta được thiết diện là một hình đối xứng \(ACPM\) (\(AM,CP\)là hai cung tròn). Gọi \(O\) là tâm thiết diện hình vuông chính giữa tòa nhà như hình vẽ, \(OP\)là tiếp tuyến của cung tròn \(CP\). Biết \(OP = 30(m)\). Các khẳng định sau đây đúng hay sai?
Diện tích đáy tòa nhà \({S_{ABCD}} = 1000\left( {{m^2}} \right).\)
Diện tích thiết diện hình vuông chính giữa (nhận O là tâm) bằng \(200\left( {{m^2}} \right).\)
Diện tích thiết diện \(ACPM\) bằng \(1200\left( {{m^2}} \right).\)
Thể tích tòa nhà là \[31295\,\,\left( {{m^3}} \right)\].
a)CHỌN SAI
+)Chiều cao tòa nhà là \(48m \Rightarrow OI = 24m\)\( \Rightarrow IP = \sqrt {O{P^2} - O{I^2}} = \sqrt {{{30}^2} - {{24}^2}} = 18\)
+)\(PQ = 18\sqrt 2 = AB \Rightarrow {S_{ABCD}} = 648{m^2}\)
b)CHỌN ĐÚNG
Gọi L là tâm cung tròn như hình vẽ.
+)Ta tính được
\(LP = 40 \Rightarrow LO = 50 \Rightarrow {\rm{OF}} = 10 \Rightarrow {S_{td}} = 200\left( {{m^2}} \right)\)
c)CHỌN ĐÚNG.
Ta có \({S_{LCP}} = 768\) và \(\cos \widehat {CLP} = \frac{{{{40}^2} + {{40}^2} - {{48}^2}}}{{2.40.40}} = \frac{7}{{25}} \Rightarrow \widehat {CLP} \approx 1,29(rad)\).
+)Diện tích quạt tròn \(LCFP\) là \({S_{LCFP}} = \frac{{1,{{29.40}^2}}}{2} = 1032\left( {{m^2}} \right)\)
+) Diện tích tam giác cong \(CFP\)là \({S_{CFP}} = 1032 - 768 = 264\left( {{m^2}} \right)\)\( \Rightarrow {S_{ACPM}} = 2\left( {{S_{GCPI}} - {S_{CFP}}} \right) = 2\left( {48.18 - 264} \right) = 1200\left( {{m^2}} \right)\)
d)CHỌN ĐÚNG.
Chọn hệ trục như hình vẽ.
+)Phương trình đường tròn \[\left( {L;40} \right)\] là \[{\left( {x - 50} \right)^2} + {y^2} = 1600 \Rightarrow x = 50 - \sqrt {1600 - {y^2}} \].
+)Độ dài đường chéo thiết diện phẳng cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Oy là
\[2\left( {50 - \sqrt {1600 - {y^2}} } \right)\]
Suy ra \[ \Rightarrow S\left( y \right) = {\left( {2\left( {50 - \sqrt {1600 - {y^2}} } \right)} \right)^2}\]
+)Vậy thể tích ngôi nhà là \[V = 2\int\limits_0^{24} {S\left( y \right){\rm{d}}y} = 2\int\limits_0^{24} {{{\left( {2\left( {50 - \sqrt {1600 - {y^2}} } \right)} \right)}^2}} .{\rm{d}}y = 31295\,\,\left( {{m^3}} \right)\].