Một thùng rượu vang có dạng khối tròn xoay với bán kính mặt đáy và mặt ở trên là 33 cm, bán kính mặt cắt ở chính giữa thùng là 43 cm. Chiều cao của thùng rượu là 112 cm, bao gồm phần thân thù
25/25
(1 điểm). Một thùng rượu vang có dạng khối tròn xoay với bán kính mặt đáy và mặt ở trên là 33 cm, bán kính mặt cắt ở chính giữa thùng là 43 cm. Chiều cao của thùng rượu là 112 cm, bao gồm phần thân thùng rượu, hai đế đỡ thùng rượu (mỗi đế cao 3 cm) và thùng rượu được ghép từ các thanh gỗ sồi với độ dày mỗi thanh gỗ là 3 cm. Phần bên trong thùng rượu có dạng một khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của parabol \[\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\] quanh trục hoành.
Thùng rượu vang đó chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu?
Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) là parabol đi qua điểm \(A\left( {0,5;\,\,0,3} \right)\) và có đỉnh \(S\left( {0;\,\,0,4} \right)\) (hình vẽ). Khi đó, dung tích thùng rượu bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,5;\,\,x = - 0,5\) quay quanh trục \[Ox\].
Tìm \(\left( P \right)\):
\(\left( P \right)\) có đỉnh \(S\left( {0;\,\,0,4} \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0,4\\ - \frac{b}{{2a}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0,4\\b = 0\end{array} \right.\). Suy ra \(\left( P \right):y = a{x^2} + 0,4\).
Mà \(\left( P \right)\) qua \(A\left( {0,5;\,\,0,3} \right)\) nên ta có: \(a \cdot 0,{5^2} + 0,4 = 0,3 \Rightarrow a = - 0,4\).
Tìm được \(\left( P \right):y = - 0,4{x^2} + 0,4\).
Suy ra \[V = \pi \int\limits_{ - 0,5}^{0,5} {{{\left( { - 0,4{x^2} + 0,4} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \frac{{203\pi }}{{1500}}\,\,{{\rm{m}}^3} = \frac{{406\pi }}{3}\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}} = \frac{{406\pi }}{3}\] lít.