Một thông tin nóng hổi bắt đầu lan truyền trong một cộng đồng gồm 20 nghìn người. Gọi P(t) là số lượng người đã biết thông tin này sau t giờ. Tại thời điểm ban đầu (t = 0), có 2 nghìn người b

13/22

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Một thông tin nóng hổi bắt đầu lan truyền trong một cộng đồng gồm \[20\] nghìn người. Gọi \[P\left( t \right)\] là số lượng người đã biết thông tin này sau \[t\] giờ. Tại thời điểm ban đầu \[\left( {t = 0} \right)\], có \[2\] nghìn người biết tin. Sau \[2\] giờ, số người biết tin tăng lên thành \[8\] nghìn người. Tốc độ lan truyền tin tức \[P'\left( t \right)\] (nghìn người/giờ) tỉ lệ thuận với tích của số người đã biết tin và số người chưa biết tin, thỏa mãn đẳng thức \[P'\left( t \right) = \frac{r}{{20}}P\left( t \right)\left[ {20 - P\left( t \right)} \right]\] (với \[r > 0\] là hệ số lan truyền).Đặt \[Q\left( t \right) = \frac{1}{{P\left( t \right)}} - \frac{1}{{20}}\].

Đạo hàm của hàm số \[Q\left( t \right)\] là \[Q'\left( t \right) = \frac{{P'\left( t \right)}}{{{{\left[ {P\left( t \right)} \right]}^2}}}\].

ĐúngSai

Biểu thức liên hệ giữa \[Q'\left( t \right)\] và \[Q\left( t \right)\] là \[Q'\left( t \right) = - rQ\left( t \right)\].

ĐúngSai

Giá trị của hệ số lan truyền \[r\] lớn hơn \[1\].

ĐúngSai

Sau \[4\] giờ kể từ thời điểm ban đầu, tổng số người biết thông tin này vượt quá \[15\] nghìn người.

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai. (thiếu dấu trừ)

\[Q'\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{{P\left( t \right)}}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{1}{{20}}} \right)^\prime } = - \frac{{P'\left( t \right)}}{{{{\left[ {P\left( t \right)} \right]}^2}}}\].

b) Đúng.

Thay \[P'\left( t \right) = \frac{r}{{20}}P\left( t \right)\left[ {20 - P\left( t \right)} \right]\] vào \[Q'\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{{P\left( t \right)}}} \right)^\prime } - {\left( {\frac{1}{{20}}} \right)^\prime } = - \frac{{P'\left( t \right)}}{{{{\left[ {P\left( t \right)} \right]}^2}}}\] ta được

\[Q'(t) = - \frac{{\frac{r}{{20}}P(t)[20 - P(t)]}}{{{{[P(t)]}^2}}} = - \frac{r}{{20}} \cdot \frac{{20 - P(t)}}{{P(t)}} = - r\left( {\frac{{20 - P(t)}}{{20P(t)}}} \right)\]

\[ = - r\left( {\frac{{20}}{{20P(t)}} - \frac{{P(t)}}{{20P(t)}}} \right) = - r\left( {\frac{1}{{P(t)}} - \frac{1}{{20}}} \right)\].

Vì \(Q(t) = \frac{1}{{P(t)}} - \frac{1}{{20}}\), nên ta có:\(Q'(t) = - rQ(t)\).

c) Sai.

Ta có: \(\frac{{Q'(t)}}{{Q(t)}} = - r\)

Lấy nguyên hàm hai vế theo biến\(t\): \(\int {\frac{1}{{Q(t)}}} dQ = \int - rdt\) \( \Rightarrow \ln |Q(t)| = - rt + C\)

\( \Rightarrow Q(t) = {e^{ - rt + C}} = {e^C} \cdot {e^{ - rt}}\)

Đặt\(A = {e^C}\), ta có công thức: \(Q(t) = A \cdot {e^{ - rt}}\)

+ Tại \(t = 0\) :\(P(0) = 2 \Rightarrow Q(0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{{20}} = \frac{9}{{20}}\).

Thay vào công thức:\(\frac{9}{{20}} = A \cdot {e^0} \Rightarrow A = \frac{9}{{20}}\) \( \Rightarrow Q(t) = \frac{9}{{20}}{e^{ - rt}}\).

+ Tại \(t = 2\):\(P(2) = 8 \Rightarrow Q(2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{{20}} = \frac{3}{{40}}\).

Thay vào: \(\frac{3}{{40}} = \frac{9}{{20}} \cdot {e^{ - 2r}}\).

\( \Rightarrow {e^{ - 2r}} = \frac{3}{{40}}:\frac{9}{{20}} = \frac{1}{6} \Rightarrow - 2r = \ln \left( {\frac{1}{6}} \right) = - \ln 6 \Rightarrow r = \frac{{\ln 6}}{2} \approx \frac{{1,79}}{2} \approx 0,896 < 1\).

d) Đúng.

Dựa vào kết quả ở trên ta tính được \(Q(4) = \frac{9}{{20}} \cdot {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} = \frac{9}{{20}} \cdot \frac{1}{{36}} = \frac{1}{{80}}\).

Từ định nghĩa\(Q(t)\), ta có:

\(\frac{1}{{P(4)}} - \frac{1}{{20}} = \frac{1}{{80}} \Rightarrow \frac{1}{{P(4)}} = \frac{1}{{80}} + \frac{1}{{20}} = \frac{5}{{80}} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow P(4) = 16\).