Một thợ xây cần xây một bể nước hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, chứa được

Gọi \(x\) là độ dài cạnh đáy và \(h\) là độ dài cạnh bên của khối lăng trụ. Để chi phí xây dựng là ít nhất thì diện tích toàn phần hình lăng trụ nhỏ nhất.

Ta có \(V = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}.h = 1\) \( \Leftrightarrow h = \frac{4}{{\sqrt 3 {x^2}}}\).

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ là \({S_{tp}} = 3xh + \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}\)\( = \frac{{4\sqrt 3 }}{x} + \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}\)

\({S_{tp}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{x} + \frac{{2\sqrt 3 }}{x} + \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2} \ge 3\sqrt[3]{{6\sqrt 3 }}\).

Vậy \(\min {S_{tp}} = 3\sqrt[3]{{6\sqrt 3 }}\) khi \(\frac{{2\sqrt 3 }}{x} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}\) \( \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\).

Chi phí xây bể là \(T = 3\sqrt[3]{{6\sqrt 3 }}.1000000 \approx 6546742\)

Do đó số tiền ít nhất người thợ cần bỏ ra là \(T \approx 6546742\)