Một thiết bị thí nghiệm dùng để đựng nước có dạng hình nón rỗng đáy, được đặt lên giá theo phương thẳng đứng. Biết rằng, thiết bị có chiều cao bằng 24 cm , đường kính đáy bằng 12 cm và độ
13/15
(1,0 điểm) Một thiết bị thí nghiệm dùng để đựng nước có dạng hình nón rỗng đáy, được đặt lên giá theo phương thẳng đứng. Biết rằng, thiết bị có chiều cao bằng \(24{\rm{cm}}\), đường kính đáy bằng \(12{\rm{cm}}\) và độ dày của thành không đáng kể (hình vẽ bên).
a) Tính thể tích nước tối đa mà thiết bị đó có thể đựng được theo đơn vị \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) (lấy \(\pi \approx 3,14).\)
b) Bỏ vào bên trong thiết bị ba viên bi hình cầu không thấm nước có cùng bán kính. Sau đó, đổ thêm vào thiết bị đó bốn cốc đầy nước, phần nước trong mỗi cốc có dạng hình trụ với bán kính đáy bằng 3 cm và chiều cao bằng 7,5 cm. Quan sát thấy mực nước bên trong thiết bị dâng lên vừa bằng miệng nón, các viên bi bị ngập hoàn toàn trong nước. Tính bán kính của mỗi viên bi. Biết rằng ban đầu thiết bị không chứa nước. (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy theo đơn vị cm).
a) Bán kính đáy của thiết bị là: \({r_1} = \frac{{{d_1}}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\) (cm).
Thể tích nước tối đa mà thiết bị đó có thể đựng nước là:
\({V_1} = \frac{1}{3}\pi r_1^2{h_1} = \frac{1}{3}\pi \cdot {6^2} \cdot 24 = 288\pi \approx 288 \cdot 3,14 = 904,32\) (cm3).
b) Thể tích của mỗi cốc là: \({V_2} = \pi r_2^2{h_2} = \pi \cdot {3^2} \cdot 7,5 = \frac{{135}}{2}\pi \) (cm3).
Thể tích của lượng nước đổ vào thiết bị là: \({V_3} = 4{V_2} = 4 \cdot \frac{{135}}{2}\pi = 270\pi \) (cm3).
Thể tích của ba viên bi là: \({V_4} = {V_1} - {V_3} = 288\pi - 270\pi = 18\pi \) (cm3).
Gọi bán kính của mỗi viên bi là \(R\) (cm) \(\left( {R > 0} \right)\).
Ta có: \(3 \cdot \frac{4}{3}\pi {R^3} = 18\pi \) nên \({R^3} = \frac{9}{2}\) hay \(R = \sqrt[3]{{\frac{9}{2}}} \approx 1,65\) (cm).