Một thiết bị lặn không người lái được thả xuống nước để thực hiện khảo sát. Vận tốc di chuyển theo phương thẳng đứng của thiết bị được mô tả bởi hàm v(t) = 1/2 (10 − t^2).e^(-0,2t) (m/phút).
20/22
Một thiết bị lặn không người lái được thả xuống nước để thực hiện khảo sát. Vận tốc di chuyển theo phương thẳng đứng của thiết bị được mô tả bởi hàm \(v\left( t \right) = \frac{1}{2}\left( {10 - {t^2}} \right).{e^{ - 0,2t}}\) (m/phút). Trong đó \(t\) là thời gian tính bằng phút kể từ lúc bắt đầu lặn. Quy ước vận tốc dương \(\left( {v > 0} \right)\) ứng với chuyển động đi xuống, vận tốc âm \(\left( {v < 0} \right)\) ứng với chuyển động đi lên. Độ sâu lớn nhất mà thiết bị đạt được trong quá trình khảo sát là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười
Xét phương trình \[v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {10 - {t^2}} \right).{e^{ - 0,2t}} = 0 \Leftrightarrow 10 - {t^2} = 0 \Rightarrow \pm \sqrt {10} \]
Với\(0 \le t < \sqrt {10} \), ta có \(10 - {t^2} > 0 \Rightarrow v\left( t \right) > 0\)(thiết bị đang lặn xuống)
Với\(t > \sqrt {10} \), ta có \(10 - {t^2} < 0 \Rightarrow v\left( t \right) < 0\) (thiết bị đang đi lên)
Vậy độ sâu lớn nhất đạt được tại thời điểm \(t = \sqrt {10} \)
Độ sâu \(h\) tại thời điểm \(t\) là tích phân của vận tốc từ lúc bắt đầu \(\left( {t = 0} \right)\):
\({h_{\max }} = \int\limits_0^{\sqrt {10} } {\left[ {\frac{1}{2}\left( {10 - {t^2}} \right).{e^{ - 0,2t}}} \right]} \,{\rm{d}}t \approx 8,4\)(m)