Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có tiêu cự bằng \(2\sqrt {70} \,m\), độ dài trục ảo bằng\(2\sqrt {42} \,m\)
19/22
Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có tiêu cự bằng \(2\sqrt {70} \,m\), độ dài trục ảo bằng\(2\sqrt {42} \,m\). Biết chiều cao của tháp là \(120\,m\) và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol là \(\frac{2}{3}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Khi đó bán kính nóc và bán kính đáy của tháp có độ dài lần lượt là \(2\sqrt a \,\left( {\rm{m}} \right)\) và \(2\sqrt b \left( {\rm{m}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + b\).
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(a < c\,,\,{b^2} = {c^2} - {a^2}\).
Ta có: \(2c = 2\sqrt {70} \Rightarrow c = \sqrt {70} ;\,2b = 2\sqrt {42} \Rightarrow b = \sqrt {42} ;\,a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = 2\sqrt 7 \)
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{28}} - \frac{{{y^2}}}{{42}} = 1\).
Gọi khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp là z.
Suy ra khoảng cách từ tâm đối xứng đến nóc tháp là \(\frac{2}{3}z\).
Ta có: \(z + \frac{2}{3}z = 120 \Rightarrow z = 72\).
Thay \(y = 72\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{28}} - \frac{{{y^2}}}{{42}} = 1\) ta tìm được \(x = \pm 2\sqrt {871} \).
Thay \(y = 48\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{28}} - \frac{{{y^2}}}{{42}} = 1\) ta tìm được \(x = \pm 2\sqrt {391} \).
Vậy bán kính đường tròn nóc và bán kính đường tròn đáy của tháp lần lượt là: \(2\sqrt {391} \left( {\rm{m}} \right)\); \(2\sqrt {871} \,\left( {\rm{m}} \right)\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 391\\b = 871\end{array} \right. \Rightarrow T = 391 + 871 = 1262\).