Một thành phố ven biển đang xây dựng công viên sinh thái với hai khu vực chính:
27/40
Một thành phố ven biển đang xây dựng công viên sinh thái với hai khu vực chính:
+) Khu vườn cây xanh có hình dạng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành.
+) Khu vườn nước nhân tạo có hình dạng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\), trục tung và trục hoành.
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), đơn vị trên mỗi trục tính bằng 100 mét.
Đường cong khu vườn cây xanh là parabol có đỉnh \(I\left( {4;2} \right)\) và đi qua gốc tọa độ. Đường cong khu hồ nước nhân tạo là \(g\left( x \right) = \left( {2x - 20} \right){e^{0,2x - 2}}\). Những phương án nào dưới đây đúng?
1. \(f\left( x \right) = - 0,125{x^2} + x\).
2. Diện tích khu vườn cây xanh lớn hơn 100 nghìn mét vuông.
3. Nếu \(G\left( x \right) = \left( {ax + b} \right){e^{0,2x - 2}}\) là một nguyên hàm của \(g\left( x \right)\) thì \(a - b = 140\).
4. Tổng diện tích công viên lớn hơn 500 nghìn mét vuông.
1. Đúng. Giả sử \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\).
Do đồ thị đi qua gốc tọa độ nên \(c = 0\).
Vì đồ thị có đỉnh \(I\left( {4;2} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 4\\a \cdot {4^2} + b \cdot 4 = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 8a\\16a + 4 \cdot \left( { - 8a} \right) = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 0,125\\b = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(f\left( x \right) = - 0,125{x^2} + x\).
2. Đúng. Diện tích khu vườn cây xanh giới hạn bởi \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành.
Phương trình hoành độ giao điểm: \( - 0,125{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 8\).
Diện tích khu vườn cây xanh là \({S_1} = \int\limits_0^8 {\left( { - 0,125{x^2} + x} \right)dx} = \frac{{32}}{3}\) (đơn vị diện tích).
Diện tích khu vườn cây xanh đổi sang m2 là \(\frac{{32}}{3} \cdot {100^2} \approx 106\;666,7{m^2} > 100\;000\;{m^2}\).
3. Sai. Ta có \(G'\left( x \right) = g\left( x \right)\).
Ta có \(G'\left( x \right) = a \cdot {e^{0,2x - 2}} + \left( {ax + b} \right) \cdot 0,2 \cdot {e^{0,2x - 2}} = \left( {0,2ax + a + 0,2b} \right){e^{0,2x - 2}}\).
Đồng nhất hệ số ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0,2a = 2\\a + 0,2b = - 20\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10\\b = - 150\end{array} \right.\). Khi đó \(a - b = 160\).
4. Sai. Khu vườn nước nhân tạo giới hạn bởi \(y = g\left( x \right)\), trục tung, trục hoành.
Giao điểm của \(g\left( x \right)\) với trục hoành: \(2x - 20 = 0 \Leftrightarrow x = 10\).
Trên đoạn \(\left[ {0;10} \right]\), \(g\left( x \right) \le 0\) nên diện tích khu vườn nước nhân tạo là
\({S_2} = - \int\limits_0^{10} {g\left( x \right)dx} = G\left( 0 \right) - G\left( {10} \right) = - 150{e^{ - 2}} - \left( { - 50} \right) = 50 - \frac{{150}}{{{e^2}}}\) (đơn vị diện tích).
Tổng diện tích là \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{32}}{3} + 50 - \frac{{150}}{{{e^2}}} \approx 40,37\) đơn vị diện tích.
Diện tích thực tế khoảng \(40,37 \cdot {100^2} = 403\;700\;{m^2} < 500\;000\;{m^2}\). Chọn 1, 2.