Một tàu chở hàng đang đậu tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB bằng 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km.
22/25
Một tàu chở hàng đang đậu tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB bằng 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người lái tàu muốn chở hàng về kho phải đi thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi dùng xe đẩy hàng đến C với vận tốc 6 km/h (xem hình vẽ dưới đây).
Tính độ dài đoạn BM để hàng được chuyển đến kho nhanh nhất (đơn vị: km).
Trước tiên, ta xây dựng hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số tính thời gian hàng được chuyển đi.
Đặt \(BM = x\) (km, 0 ≤ x ≤ 7) thì ta được: \(MC = 7 - x,\,\,\,AM = \sqrt {{x^2} + 25} \). Theo đề bài, người lái tàu có thể đi thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi dùng xe đẩy hàng đến C với vận tốc 6 km/h, như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định như sau:
\(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6} = \frac{{3\sqrt {{x^2} + 25} - 2x + 14}}{{12}}\) với \(x \in \left[ {0;7} \right]\).
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được thời gian ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M.
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{12}}\left( {\frac{{3x}}{{\sqrt {{x^2} + 25} }} - 2} \right).\)
f'x=0⇔3xx2+25−2=0⇔3x−2x2+25=0
⇔2x2+25=3x⇔5x2=100x≥0⇔x=±25x≥0⇔x=25
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;7} \right]\) và ta có:
\(f\left( 0 \right) = \frac{{29}}{{12}}\,\,,\,\,f\left( {2\sqrt 5 } \right) = \frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}},\,\,f\left( 7 \right) = \frac{{\sqrt {74} }}{4}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) là \(\frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}}\)tại \(x = 2\sqrt 5 .\) Khi đó thời gian đi là ít nhất và điểm M nằm cách B một đoạn \(BM = x = 2\sqrt 5 \) (km).
Trả lời: \(2\sqrt 5 \).