Một tấm pin năng lượng mặt trời có dạng hình chữ nhật ABCD với kích thước cạnh AB = 2 m và BC = 3 m. Tấm pin này được đặt nghiêng trên một mặt phẳng đất nằm ngang sao cho cạnh AB nằm
20/22
Một tấm pin năng lượng mặt trời có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) với kích thước cạnh \(AB = 2m\) và \(BC = 3m\). Tấm pin này được đặt nghiêng trên một mặt phẳng đất nằm ngang sao cho cạnh \(AB\) nằm sát trên mặt đất. Vào ban ngày, một nguồn sáng điểm (bóng đèn) được đặt tại vị trí \(S\), cách mặt đất một chiều cao \(4m\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) lên mặt đất trùng với trung điểm \(I\) của cạnh \(AB\). Khi trời tối và bật đèn lên, ánh sáng từ \(S\) chiếu qua tấm pin \(ABCD\) tạo ra một bóng trên mặt đất. Bóng này có dạng một hình thang cân \(ABC'D'\), trong đó \(C'\) và \(D'\) lần lượt là hình chiếu của các đỉnh \(C\) và \(D\) của tấm pin lên mặt đất. Đã biết rằng, hình thang cân \(ABC'D'\) này có chiều cao là \(4,5m\). Hãy tính diện tích lớn nhất của hình thang cân \(ABC'D'\) là bóng của tấm pin trên mặt đất (Kết quả được yêu cầu tính bằng đơn vị \({m^2}\) và làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp án: 15,8
Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) và \(H = SK \cap C'D'\) khi đó \(H\) là trung điểm \(C'D'\). Do đó, \(IH\) là đường cao của hình thang cân \(ABC'D'\).
Gắn hệ trục \(Oxyz\) sao cho tia \(IB\), \(IH\) và \[IS\] lần lượt trùng với \[Ox,Oy,Oz\].
Suy ra, \(A\left( { - 1;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(S\left( {0;0;4} \right)\)
Đặt \(\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {Oxy} \right)} \right) = \alpha \), khi đó \(\widehat {KIH} = \alpha \).
Khi đó, \(K\left( {0;3\cos \alpha ;3\sin \alpha } \right)\), \(H\left( {0;4,5;0} \right)\).
Ta lại có, \(S,K,H\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {SK} = t.\overrightarrow {SH} = \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}3\cos \alpha = t.4,5\\3\sin \alpha - 4 = - 4.t\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{14}}{{29}}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\)
+ Với \(t = \frac{{14}}{{29}}\) thì \(SK = \frac{{14}}{{29}}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{{14}}{{29}} \Rightarrow C'D' = \frac{{29}}{7}\).
Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + \frac{{29}}{7}} \right).4,5}}{2} \approx 13,821\).
+ Với \(t = \frac{2}{5}\) thì \(SK = \frac{2}{5}SH\) nên \(\frac{{CD}}{{C'D'}} = \frac{{SK}}{{SH}} = \frac{2}{5} \Rightarrow C'D' = 5\).
Suy ra \({S_{ABC'D'}} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).4,5}}{2} = 15,75 \approx 15,8\).
Vậy \(\max {S_{ABC'D'}} \approx 15,8\) \({m^2}\).