Một tấm kính làm mặt bàn (H1) có hình dáng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2). Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng 12 (dm). Để cắt góc bàn được đẹp thì người ta cắt theo đường

20/22

Một tấm kính làm mặt bàn (H1) có hình dáng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2).

Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng \[12\](dm). Để cắt góc bàn được đẹp thì người ta cắt theo đường cong là Parabol (P): \[y = - \frac{{\sqrt 3 }}{4}{x^2} + 5\sqrt 3 \] (H3) có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác (H4). Diện tích mặt kính làm mặt bàn (H1) bằng \[S(d{m^2})\]. Tính \[S\](kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

$Nhận thấy các điểm \[M\], \[D\], \[E\] đều nằm trong mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] nên ta đưa về xử lí bài toán trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy (ảnh 1)$

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: \[62,1\]

$Nhận thấy các điểm \[M\], \[D\], \[E\] đều nằm trong mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] nên ta đưa về xử lí bài toán trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy (ảnh 2)$

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trước hết ta xác định phần diện tích bị cắt bỏ tại 1 góc

Vì phần diện tích bị cắt bỏ tại 1 góc là hình phẳng giới hạn bởi Parabol và hai cạnh của tam giác đều.

Cạch của tam giác đều tạo với trục đối xứng một góc \[{30^o}\] nên hệ số góc của cạnh bên phải tam giác là \[k = \tan ({150^o}) = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].

Vì cạnh bên của tam giác là tiếp tuyến của parabol bên ta giải phương trình:

\[y'({x_0}) = k \Rightarrow - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x_0} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow {x_0} = \frac{2}{3} \Rightarrow {y_0} = \frac{{44\sqrt 3 }}{9}\]

Phương trình đường thẳng cạnh bên phải của tam giác đi qua điểm \[\left( {\frac{2}{3};\frac{{44\sqrt 3 }}{9}} \right)\] và có hệ số góc \[k = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]nên có phương trình là:

\[\begin{array}{l}\\y = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {x - \frac{2}{3}} \right) + \frac{{44\sqrt 3 }}{9} \Rightarrow y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x + \frac{{46\sqrt 3 }}{9}\end{array}\]

Do tính đối xứng qua trục Oy, diện tích phần bị cắt 1 góc là:

$S_{1} = 2 \int_{0}^{\frac{2}{3}} [(\frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{46 \sqrt{3}}{9}) - (- \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} + 5 \sqrt{3})] d x$

Lại có: diện tích của tam giác đều ban đầu là: \[{S_\Delta } = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = 36\sqrt 3 \]

Diện tích của mặt bàn sau khi cắt 3 phần ở góc là:

\[S = {S_1} - 3{S_\Delta } = 36\sqrt 3 - 3.\frac{{4\sqrt 3 }}{{81}} \approx 62,1(d{m^2})\].