Một tấm kim loại hình chữ nhật có chiều dài 64 cm và chiều rộng 40 cm. Đan cắt ở bốn góc của tấm kim loại bốn hình vuông có cạnh bằng nhau để gập thành một chiếc hộp không nắp.

Gọi \(x\) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt (đơn vị: cm, điều kiện \(0 < x < 20\)).

Diện tích tấm kim loại cần mua là: \(S(x) = 64 \cdot 40 - 4{x^2} = 2560 - 4{x^2}\)

Theo đề bài, chi phí không vượt quá \[4{\rm{ }}440\,\,000\] đồng, ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2500\left( {2560 - 4{x^2}} \right) \le 4{\rm{ }}440\,\,000}\\{2x < 40}\\{2x < 64}\end{array}} \right. \Rightarrow 14 \le x < 20\)

Thể tích hộp không nắp là:

\(V = x(64 - 2x)(40 - 2x) = 4x(32 - x)(20 - x)\;(c{m^3})\)

Ta có \(V - 6048 = 4({x^3} - 52{x^2} + 640x - 1512)\)

\( = 4(x - 14)({x^2} - 38x + 108)\)

\( = 4(x - 14)[(x - 14)(x - 20) - 4x - 172]\)

Với \(14 \le x < 20\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 14 \ge 0}\\{(x - 14)(x - 20) \le 0}\\{ - 4x - 172 < 0}\end{array}} \right.\)

Từ đó suy ra \(V - 6048 \le 0 \Rightarrow V \le 6048\).

Vậy thể tích lớn nhất của hộp là \({V_{max}} = 6048\;(c{m^3})\) khi \(x = 14\;(cm)\).