Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 cm. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                    b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Đường cao lăng trụ là AD = AB = 30 cm không đổi.

Khi đó V = 30‧S_AEG.

b) Sai. Gọi I là trung điểm cạnh EG Þ AI ^ EG trong tam giác AEG Þ IG = 15 – x    (0 < x < 15).

Ta có: AI =\(\sqrt {{x^2} - {{(15 - x)}^2}} = \sqrt {30x - 225} \) với x Î\(\left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\)

S_DAEG=\(\frac{1}{2}\)AI∙EG =\(\frac{1}{2}\)(30 – 2x)\(\sqrt {30x - 225} = \sqrt {15} \cdot \sqrt {{{(15 - x)}^2}(2x - 15)} \)

c) Đúng. Bài toán trở thành tìm x Î\(\left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\) để f(x) = (15 – x)²(2x – 15) lớn nhất.

f'(x) = −2(15 – x)(2x – 15) + 2(15 – x)² = 6x² – 150x + 900;

f'(x) = 0 Û x = 10 hoặc x = 15.

Bảng biến thiên:

Vậy giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất khi x = 10.

d) Sai. Thể tích lớn nhất là: \(30 \cdot \sqrt {15} \cdot \sqrt {125} = 750\sqrt 3 \) (cm³).