Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 cm . Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
38/55
Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
![Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/28-1759414889.png)
a) Thể tích khối trụ được tính bằng công thức \(V = 30S\) trong đó \(S\) là diện tích của tam giác \(AEG\).
b) Diện tích của tam giác \(AEG\) bằng: \(\sqrt {30} .\sqrt {{{\left( {15 - x} \right)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \).
c) Giá trị của \(x\) để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là \(x = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
d) Thể tích khối lăng trụ lớn nhất bằng \(1250\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
![Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/29-1759414935.png)
a) Đúng. Đường cao lăng trụ là \(AD = AB = 30{\rm{cm}}\) không đổi. Để thể tích lăng trụ lớn nhất chỉ cần diện tích đáy lớn nhất.
Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(EG\) \( \Rightarrow AI \bot EG\) trong tam giác \[AEG\]\( \Rightarrow IG = 15 - x,\) \(\left( {0 < x < 15} \right)\).
Ta có:\[AI = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{30 - 2x}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - {{\left( {15 - x} \right)}^2}} \] \[ = \sqrt {30x - 225} ,\,x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\].
b) Sai. \[{S_{\Delta AEG}} = \frac{1}{2}AI.EG = \frac{1}{2}\left( {30 - 2x} \right)\sqrt {30x - 225} \] \( = \sqrt {15} .\sqrt {{{\left( {15 - x} \right)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \).
Vậy ta cần tìm \(x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\) để \(f\left( x \right) = {\left( {15 - x} \right)^2}\left( {2x - 15} \right)\) lớn nhất.
\(f'\left( x \right) = - 2\left( {15 - x} \right)\left( {2x - 15} \right) + 2{\left( {15 - x} \right)^2} = 2\left( {15 - x} \right)\left( {30 - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\\x = 10\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
![Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. (ảnh 3)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/30-1759414924.png)
c) Đúng. Vậy thể tích lăng trụ lớn nhất khi \(x = 10\).
d) Sai. Thể tích lớn nhất của lăng trụ bằng \[125.30 = 3750\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].