Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 13 cm và diện tích bằng 30 cm^2 . Lập phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đã cho.

Gọi hai cạnh góc vuông là \[x\] và \[y\] (đơn vị: cm).
Theo định lý Pythagore, ta có: \({x^2} + {y^2} = {13^2} = 169\) (1)
Diện tích tam giác vuông là: \(S = \frac{1}{2}x.y = 30 \Rightarrow xy = 60\) (2)
Từ (1) và (2), ta sử dụng hằng đẳng thức: \({(x + y)^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {(x + y)^2} - 2xy\)
Thay vào ta được: \({(x + y)^2} - 2.60 = 169 \Rightarrow {(x + y)^2} = 289 \Rightarrow x + y = \sqrt {289}  = 17\)
Vậy tổng và tích hai nghiệm lần lượt là: \(x + y = 17,\;xy = 60\)
\( \Rightarrow \) Phương trình bậc hai cần tìm là: \({t^2} - 17t + 60 = 0\)
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác là \({{\rm{t}}^2} - 17{\rm{t}} + 60 = 0\).