Một sợi dây kim loại được treo giữa hai bức tường. Độ cao so với mặt đất của chiếc dây này được cho bởi hàm số:
21/35
Một sợi dây kim loại được treo giữa hai bức tường. Độ cao so với mặt đất của chiếc dây này được cho bởi hàm số:
\(h(x) = {e^{ - 2x}} + {e^x},0 \le x \le 2\)
trong đó là khoảng cách dọc theo mặt đất từ bức tường bên trái. Hỏi sợi dây sẽ gần với mặt đất một khoảng ngắn nhất là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Đáp số: 1,89.
\({{\rm{h}}^\prime }({\rm{x}}) = - 2{{\rm{e}}^{ - 2{\rm{x}}}} + {{\rm{e}}^{\rm{x}}} = 0 \Leftrightarrow 2{{\rm{e}}^{ - 2{\rm{x}}}} = {{\rm{e}}^{\rm{x}}} \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{3{\rm{x}}}} = 2 \Leftrightarrow 3{\rm{x}} = \ln 2 \Leftrightarrow {\rm{x}} = \frac{1}{3}\ln 2.\)
Lập bảng biến thiên ta suy ra hàm số \({\rm{h}}({\rm{x}})\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \({\rm{x}} = \frac{1}{3}\ln 2.\)
Vậy sợi dây sẽ gần với mặt đất một khoảng ngắn nhất là:
\({\rm{h}}\left( {\frac{1}{3}\ln 2} \right) = {{\rm{e}}^{\frac{{ - 2}}{3}\ln 2}} + {{\rm{e}}^{\frac{1}{3}\ln 2}} = {2^{\frac{{ - 2}}{3}}} + {2^{\frac{1}{3}}} \approx 1,89(\;{\rm{m}})\)