Một sợi dây kim loại dài a(cm) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x(cm)
23/42
Một sợi dây kim loại dài a(cm) . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x(cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông a>x>0. Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.
x=aπ+4cm
x=2aπ+4cm
x=πaπ+4cm
x=4aπ+4cm
Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn 0<x<a.Suy ra chiều dài đoạn còn lại là a − x.
Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: 2πr=x⇒r=x2π
Do đó diện tích hình tròn là: S1=π.r2=x24π
Chu vi hình vuông là a−x⇒Cạnh hình vuông là a−x4Do đó diện tích hình vuông:
S2=a−x42
Tổng diện tích hai hình:
S=x24π+a−x42 =4x2+πa−x216π =4+π.x2−2aπx+πa216π
Xét hàm số Sx=4+π.x2−2aπx+πa216πta có:
S'x=24+π.x−2aπ16π=4+π.x−aπ8π
Cho S'x=0⇔4+πx−aπ=0⇔x=aπ4+πTa có BBT như sau :
Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại x=aπ4+π
Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x=aπ4+π
Đáp án cần chọn là: C