Một sân bóng hình chữ nhật với diện tích \(200{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Người ta muốn trồng cỏ trên sân bóng
20/22
Một sân bóng hình chữ nhật với diện tích \(200{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Người ta muốn trồng cỏ trên sân bóng theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một cạnh của sân bóng như hình vẽ bên. Biết chi phí trồng cỏ là 300 nghìn đồng cho mỗi mét vuông. Xác định chi phí trồng cỏ cần có cho sân bóng trên là bao nhiêu triệu đồng?
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là m, chiều rộng là n \(\left( {m > n > 0} \right)\).
Ta có diện tích hình chữ nhật là \(s = mn = 200\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho đỉnh của parabol là \(I\left( {0;n} \right)\). Parabol đi qua hai điểm \(A\left( { - \frac{m}{2};0} \right)\) và \(B\left( {\frac{m}{2};0} \right)\).
Do đó parabol có dạng \(y = - \frac{{4n}}{{{m^2}}}{x^2} + n\).
Vậy phần diện tích trồng cỏ là \(S = 2\int\limits_0^{\frac{m}{2}} {\left( { - \frac{{4n}}{{{m^2}}}{x^2} + n} \right)dx} = \frac{{2mn}}{3}\).
Vậy số tiền trồng cỏ cần là: \(\frac{{2mn}}{3}.300000 = \frac{{2.200}}{3}.300000 = 40000000 = 40\) triệu đồng.