Một quần thể vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm. Nồng độ dinh dưỡng S (đơn vị: mg/l) thay đổi theo thời gian t (giờ) được mô hình hóa bởi hàm số: S ( t ) = (10t + 5)/( t + 1)

19/22

Một quần thể vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm. Nồng độ dinh dưỡng \(S\) (đơn vị: mg/l) thay đổi theo thời gian \(t\) (giờ) được mô hình hóa bởi hàm số: \(S\left( t \right) = \frac{{10t + 5}}{{t + 1}}\). Biết rằng tốc độ sinh trưởng \(V\) của vi khuẩn phụ thuộc vào nồng độ dinh dưỡng theo hàm số: \(V\left( S \right) = \frac{{5S}}{{S + 2}}\). Khi thời gian \(t\) kéo dài, tốc độ sinh trưởng \(V\) tăng dần và ổn định quanh một ngưỡng \(K\) nhất định. Hỏi sau bao nhiêu phút thì tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn đạt \(90\% \) của ngưỡng \(K\) đó?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 15

Thay \(S\left( t \right) = \frac{{10t + 5}}{{t + 1}}\) vào \(V\left( S \right) = \frac{{5S}}{{S + 2}}\), ta được \(V\left( t \right) = \frac{{5\left( {\frac{{10t + 5}}{{t + 1}}} \right)}}{{\frac{{10t + 5}}{{t + 1}} + 2}}\)\( = \frac{{50t + 25}}{{12t + 7}}\).

Khi thời gian \(t\) kéo dài, tốc độ sinh trưởng \(V\) tăng dần và ổn định quanh một ngưỡng \(K\) nhất định

Suy ra ngưỡng \(K\) chính là giới hạn của tốc độ sinh trưởng khi thời gian \(t\) tiến ra vô hạn \(\left( {t \to + \infty } \right)\)

\(K = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } V\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{50t + 25}}{{12t + 7}} = \frac{{50}}{{12}} = \frac{{25}}{6}\)

Theo yêu cầu bài toán, ta cần tìm \(t\) sao cho \(V\left( t \right) = 90\% \cdot K\)\[ = 0,9 \cdot \frac{{25}}{6} = \frac{9}{{10}} \cdot \frac{{25}}{6} = 3,75\].

Ta có phương trình \(\frac{{50t + 25}}{{12t + 7}} = 3,75\)

\( \Leftrightarrow 50t + 25 = 3,75 \cdot \left( {12t + 7} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = 0,25\;\)(giờ)\( = 15\;\)(phút)

Vậy sau \(15\) phút thì tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn sẽ đạt \(90\% \) ngưỡng ổn định \(K\).