Một quả bóng được phát lên từ vị trí gốc tọa độ O trong hệ trục Oxyz (đơn vị: mét). Quả bóng bay theo quỹ đạo parabol nằm trong mặt phẳng thẳng đứng vuông góc với mặt sân bóng (mặt phẳng Oxy)

Gọi \({A_1} \in \left( {Oxy} \right)\) là điểm rơi xuống vị trí đầu tiên cách trục \(Ox\) là \(6\)m, cách trục \(Oy\) là \(8\)m\( \Rightarrow {A_1}\left( {8;6;0} \right)\) nên độ dài \(O{A_1} = \sqrt {{8^2} + {6^2} + {0^2}}  = 10\) là bề rộng lần đầu của quả bóng

Gọi \({L_n}\) là bề rộng của lần nảy thứ \(n\) thì \({L_1} = 10\) và công bội \({q_L} = 0,5\)

\( \Rightarrow {L_n} = {L_1}.{\left( {{q_L}} \right)^{n - 1}} = 10 \cdot {\left( {0,5} \right)^{n - 1}}\)

Gọi \({H_n}\) là độ cao của lần nảy thứ \(n\) thì \({H_1} = 5\) và công bội \({q_H} = 0,8\)

\( \Rightarrow {H_n} = {H_1}.{\left( {{q_H}} \right)^{n - 1}} = 5.{\left( {0,8} \right)^{n - 1}}\)

          Xét mệnh đề a)

          Bề rộng lần thứ 3 là: \({L_3} = 10 \cdot {\left( {0,5} \right)^2} = 2,5\)(m) nên mệnh đề a) đúng

          Xét mệnh đề b)

          Độ cao cực đại lần thứ 4 là: \({H_4} = 5 \cdot {\left( {0,8} \right)^3} = 2,56\)(m) nên mệnh đề b) sai

Xét mệnh đề c)

Tổng độ dài hình chiếu (tổng các bề rộng) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

\(S = \frac{{{L_1}}}{{1 - {q_L}}} = \frac{{10}}{{1 - 0,5}} = 20\)(m) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Độ cao cực đại lần 3 đạt được tại trung điểm của bề rộng \({L_3}\).

Khoảng cách từ gốc \(O\) đến điểm này trên mặt sàn là \(d = {L_1} + {L_2} + \frac{{{L_3}}}{2} = 10 + 5 + 1,25 = 16,25\)(m).

Tọa độ điểm \(M\) là:

\({x_M} = d.\cos \alpha  = 16,25.\frac{8}{{10}} = 13\); \({y_M} = d.\sin \alpha  = 16,25.\frac{6}{{10}} = 9,75\);\({z_M} = {H_3} = 5.{\left( {0,8} \right)^2} = 3,2\)

Vậy \[M\left( {13;9,75;3,2} \right)\] nên mệnh đề d) đúng