Một phòng trưng bày nghệ thuật dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với kích thước:

15/22

Một phòng trưng bày nghệ thuật dạng hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) với kích thước: dài \(AD = 8\,\) mét, rộng \(AB = 6\) mét, cao \(AA' = 4\) mét. Kỹ sư thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxyz\) để số hóa căn phòng như sau: Gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đặt tại \(A\); các trục \[Ox,Oy,Oz\] lần lượt trùng với các cạnh \[AD,\,AB,AA'\] (chiều dương lần lượt từ \[A\] đến \[D\], từ \[A\] đến \[B\], từ \[A\] đến \[A'\]) (Đơn vị trên các trục tọa độ là mét). Hệ thống giám sát gồm một camera gắn tại tâm \[S\] của mặt trần \[A'B'C'D'\] và một cảm biến hồng ngoại gắn tại đỉnh \[C\] (đỉnh đối diện với \[A\] trên mặt sàn \[ABCD\]). Camera đang giám sát một bức tranh được treo chính giữa bức tường \[CDD'C'\], gọi \[P\] là tâm của bức tranh (cũng là tâm của hình chữ nhật \[CDD'C'\]).

Tọa độ vị trí lắp đặt camera là \[S(4;3;4)\].

ĐúngSai

Khoảng cách từ camera đến tâm bức tranh \[P\] là 5 mét.

ĐúngSai

Có yêu cầu góc tạo bởi trục thẳng đứng của giá treo camera (phương song song \[Oz\], hướng xuống) và tia nhìn từ camera đến tâm bức tranh \[\left( {\overrightarrow {SP} } \right)\] phải nhỏ hơn \[{60^0}\]. Thiết kế hiện tại thỏa mãn yêu cầu này.

ĐúngSai

Để tránh chói camera, kỹ sư cho lắp thêm một trục đỡ đèn chiếu sáng nghệ thuật, trục đèn được chọn vuông góc với mặt phẳng \[\left( {SPC} \right)\]. Chọn một vectơ \[\overrightarrow u \] có giá song song với trục đèn, ta có \[\overrightarrow u \left( {3;4;6} \right)\].

ĐúngSai

Giải thích

Một phòng trưng bày nghệ thuật dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với kích thước: (ảnh 1)

a) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có \[A'\left( {0;0;4} \right),\,\,\,C'\left( {8;6;4} \right)\,\, \Rightarrow S\left( {4;3;4} \right)\]. Vậy a đúng.

b) Lại có \[D\left( {8;0;0} \right),\,\,\,C'\left( {8;6;4} \right)\,\, \Rightarrow P\left( {8;3;2} \right) \Rightarrow SP = 2\sqrt 5 \]. Vậy b sai.

c) Ta có \[A\left( {0;0;0} \right),\,\,C\left( {8;6;0} \right) \Rightarrow S'\left( {4;3;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SS'} = \left( {0;0; - 4} \right)\]

mà \[\overrightarrow {SP} = \left( {4;0; - 2} \right)\] nên \[{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SS'} } \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {SP} ,\overrightarrow {SS'} } \right) \approx 63,{43^0}\]. Vậy c sai.

d) Ta có \[\overrightarrow {SP} = \left( {4;0; - 2} \right),\,\,\overrightarrow {SC} = \left( {4;3; - 4} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SP} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {6;8;12} \right)\]

Chọn \[\overrightarrow u = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {SP} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {3;4;6} \right)\]. Vậy d đúng.