Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 10 m, chiều rộng 7 m và chiều cao 3,3 m. Bức tường có kích thước 7 × 3,3 được trang trí bởi một số bức tranh,
12/16
Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài \(10{\rm{\;m}}\), chiều rộng \(7{\rm{\;m}}\) và chiều cao \(3,3{\rm{\;m}}\). Bức tường có kích thước \(7 \times 3,3\) được trang trí bởi một số bức tranh, một chiếc quạt trần được treo trên trần nhà tại vị trí chính giữa trần nhà của phòng học như hình sau.
Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc tọa độ \(O\) trùng với góc phòng và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt sàn như hình vẽ (các vectơ đơn vị trên các trục có độ dài \(1{\rm{\;m}}\)). Biết rằng thanh treo động cơ của quạt có độ dài \(0,8{\rm{\;m}}\). Giả sử xem động cơ chiếc quạt trần là điểm \(I\).
Khoảng cách từ động cơ quạt đến bức tường có trang trí các bức tranh là \(5{\rm{\;m}}\).
Người ta muốn dùng một thiết bị cảm ứng, khi có người vào phòng thì quạt tự bật, khi không có người trong phòng trong 15 phút thì quạt tắt. Giả sử tọa độ của thiết bị đó là \(A\left( {0;2;1} \right)\). Khoảng cách từ thiết bị \(A\) đến động cơ quạt \(I\) nhỏ hơn \(5,5{\rm{\;m}}\).
Tọa độ của động cơ quạt là \(I\left( {a;b;c} \right)\) với \(a = 3,5;\;b = 5;\;c = 2,5\).
Khoảng cách từ động cơ quạt đến sàn nhà là \(2,5{\rm{\;m}}\).
Xác định hệ tọa độ: Giả sử chiều dài \(10{\rm{\;m}}\) nằm dọc theo trục \(Oy\) (bức tường dài \(10{\rm{\;m}}\)), chiều rộng \(7{\rm{\;m}}\) dọc theo trục \(Ox\) (bức tường có kích thước \(7 \times 3,3\) chính là bức tường nằm trong mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\)).
Vị trí tâm trần nhà có tọa độ hình chiếu xuống sàn là trung điểm của chiều dài và chiều rộng: \(x = \frac{7}{2} = 3,5\) và \(y = \frac{{10}}{2} = 5\).
Độ cao của trần nhà là \(3,3{\rm{\;m}}\). Thanh treo quạt dài \(0,8{\rm{\;m}}\) hướng thẳng đứng xuống dưới, nên độ cao (cao độ \(z\)) của động cơ quạt điểm \(I\) là: \(z = 3,3 - 0,8 = 2,5{\rm{\;m}}\).
Vậy tọa độ động cơ quạt là \(I\left( {3,5;5;2,5} \right)\).
Ý c) ĐÚNG. Tọa độ của \(I\) có \(a = 3,5;b = 5;c = 2,5\).
Ý d) ĐÚNG. Khoảng cách từ điểm \(I\) đến sàn nhà (mặt phẳng \(Oxy\)) chính là cao độ \({z_I} = 2,5{\rm{\;m}}\).
Ý a) ĐÚNG. Bức tường trang trí tranh có kích thước \(7 \times 3,3\), tức là bức tường nằm ở mặt phẳng ứng với vị trí giới hạn chiều dài của phòng (mặt phẳng \(y = 0\) hoặc \(y = 10\)). Khoảng cách từ tâm quạt \(I\left( {3,5;5;2,5} \right)\) đến bức tường này chính là khoảng cách đến mặt phẳng song song với \(\left( {Oxz} \right)\), bằng \(5{\rm{\;m}}\).
Ý b) ĐÚNG. Tính khoảng cách từ thiết bị \(A\left( {0;2;1} \right)\) đến động cơ quạt \(I\left( {3,5;5;2,5} \right)\):
\(AI = \sqrt {{{\left( {3,5 - 0} \right)}^2} + {{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2,5 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{3,5}^2} + {3^2} + {{1,5}^2}} = \sqrt {12,25 + 9 + 2,25} = \sqrt {23,5} \approx 4,85{\rm{\;m}}\).
Vì \(4,85{\rm{\;m}} < 5,5{\rm{\;m}}\) nên phát biểu này đúng.