Một phần thiết kế của một công trình đang xây dựng có dạng như hình bên, trong đó ABCD là hình vuông cạnh 6 m , A M , B N , D P cùng vuông góc với ( A B C D ) , A M = 4 m , B N = 3 m , D
12/12
Một phần thiết kế của một công trình đang xây dựng có dạng như hình bên, trong đó ABCD là hình vuông cạnh \(6\;{\rm{m}},{\rm{AM}},{\rm{BN}},{\rm{DP}}\) cùng vuông góc với \(({\rm{ABCD}}),{\rm{AM}} = 4\;{\rm{m}}\), \({\rm{BN}} = 3\;{\rm{m}},{\rm{DP}} = 2\;{\rm{m}}.\) Góc giữa hai mặt phẳng \(({\rm{ABCD}})\) và \(({\rm{MNP}})\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ) là \({{\rm{n}}^o }\) với n là số nguyên dương. Giá trị của n là bao nhiêu?
Đáp số: 20.
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ với đơn vị của mỗi trục là mét, \({\rm{A}}(0;0;0),{\rm{B}}(6;0;0)\), \({\rm{D}}(0;6;0),{\rm{M}}(0;0;4),{\rm{N}}(6;0;3),{\rm{P}}(0;6;2).\) Phương trình mặt phẳng (MNP) là \({\rm{x}} + 2{\rm{y}} + \) \(6{\rm{z}} - 24 = 0\), vectơ pháp tuyến của (MNP) là \(\overrightarrow {\rm{n}} = (1;2;6).\)
\(({\rm{ABCD}})\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {\rm{k}} = (0;0;1).\)
\(\cos {{\rm{n}}^o } = \cos (({\rm{ABCD}}),({\rm{MNP}})) = \frac{{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 6 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{6\sqrt {41} }}{{41}}.\)
Suy ra \({\rm{n}} = 20.\)