Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.

Gọi tử số của phân số cần tìm là \(x\) \(\left( {x \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì tử số bé hơn mẫu số là 11 nên mẫu số là \(x + 11\) (ĐK: \(x \ne  - 11\)).

Phân số ban đầu là: \(\frac{x}{{x + 11}}\).

Bớt tử số đi 7 đơn vị, ta được tử số mới là: \(x - 7\).

Tăng mẫu số lên 4 đơn vị, ta được mẫu số mới là: \(x + 11 + 4 = x + 15\) (ĐK: \(x \ne  - 15\)).

Phân số mới là phân số nghịch đảo của phân số ban đầu nên ta có phương trình:

\(\frac{{x - 7}}{{x + 15}} = \frac{{x + 11}}{x}\) (ĐK: \(x \ne 0\))

\(x\left( {x - 7} \right) = \left( {x + 15} \right)\left( {x + 11} \right)\)

\({x^2} - 7x = {x^2} + 26x + 165\)

\(33x =  - 165\)

\(x =  - 5\) (TMĐK).

Mẫu số là: \( - 5 + 11 = 6\).

Vậy phân số cần tìm là \(\frac{{ - 5}}{6}\).