Một nhóm bạn đi Picnic muốn cắm trại qua đêm. Biết trại cắm là một hình chóp tam giác đỉnh S cách đều các chân trại A,B,C

80/235

Một nhóm bạn đi Picnic muốn cắm trại qua đêm. Biết trại cắm là một hình chóp tam giác đỉnh $S$ cách đều các chân trại $A, B, C$ một đoạn bằng $3 m$ . Biết đáy trại là một tam giác vuông tại $A$ và $A B = 2 m$ . Nhóm muốn cắm trại sao cho thể tích của trại là lớn nhất cho không gian thoải mái. Khi đó độ dài $A C$ bằng bao nhiêu mét (nhập đáp án vào ô trống)?

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, suy ra $H$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$. Do $SA = SB = SC$ nên ta có $SH \bot \left( {ABC} \right)$.

Đặt $AC = x$. Ta có $BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{x^2} + 4} $.

Trong tam giác $SBH$ ta có $SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \frac{{\sqrt {32 - {x^2}} }}{2}$, với điều kiện $0 < x < 4\sqrt 2 $.

Thể tích của lều $V = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt {32 - {x^2}} }}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x = \frac{1}{6}x \cdot \sqrt {32 - {x^2}} $.

Xét hàm số $f\left( x \right) = x \cdot \sqrt {32 - {x^2}} $, ta có $f'\left( x \right) = \sqrt {32 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {32 - {x^2}} }}$.

Có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 32 - {x^2} = {x^2} \Rightarrow x = 4$. Bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( {0;4\sqrt 2 } \right)$:

Từ bảng biến thiên suy ra độ dài cạnh $AC$ là $4\,m$.

Đáp án cần nhập là: 4.