Một nhóm 10 học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có An và 5 học sinh nữ trong đó có Bình được xếp ngồi vào 10 cái ghế trên một hàng ngang.

92/100

Một nhóm 10 học sinh gồm 5 học sinh nam trong đó có An và 5 học sinh nữ trong đó có Bình được xếp ngồi vào 10 cái ghế trên một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nam và nữ ngồi xen kẽ, đồng thời An không ngồi cạnh Bình?

$16 \cdot {(4!)^2}$

$16 \cdot 8!$

$32 \cdot {(4!)^2}$

$32 \cdot 8!$

Giải thích

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải.

Chia trường hợp vị trí ngồi chẵn lẻ của nam và nữ.

Lời giải chi tiết.

Đánh số 10 vị trí tương ứng với 10 ghế.

Trường hợp 1. Xếp các học sinh nam ở vị trí lẻ và các học sinh nữ ở vị trí chẵn.

- Nếu An ở vị trí (1) thì chỉ có thể xếp Bình vào các vị trí (4), (6), (8), (10) $ \Rightarrow $ Có 4 cách xếp An và Bình.

Xếp 4 bạn nam còn lại vào các vị trí (3), (5), (7), (9) có $4!$ cách.

Xếp 4 bạn nữ còn lại vào 4 vị trí chẵn còn lại có $4!$ cách.

$ \Rightarrow $ Có $4 \cdot {(4!)^2}$ cách xếp.

- Nếu An ở một trong các vị trí (3), (5), (7), (9) $ \Rightarrow $ Có 4 cách xếp An.

Với mỗi cách xếp An, có 3 cách xếp Bình (không ngồi cạnh An và ở vị trí chẵn).

Xếp 4 bạn nam còn lại và 4 bạn nữ còn lại có ${(4!)^2}$ cách.

$ \Rightarrow $ Có $4 \cdot 3 \cdot {(4!)^2} = 12 \cdot {(4!)^2}$ cách xếp.

Vậy có $4 \cdot {(4!)^2} + 12 \cdot {(4!)^2} = 16 \cdot {(4!)^2}$ cách xếp trong trường hợp 1.

Trường hợp 2. Xếp các học sinh nam ở vị trí chẵn và các học sinh nữ ở vị trí lẻ. Tương tự có $16 \cdot {(4!)^2}$ cách xếp.

Vậy có tất cả $16 \cdot {(4!)^2} + 16 \cdot {(4!)^2} = 32 \cdot {(4!)^2}$ cách xếp thỏa mãn bài toán.