Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng

a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó, hàm cầu là p = p(x).

Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số p = p(x) là hàm số bậc nhất nên. Do đó, p(x) = ax + b (a khác 0).

Giá tiền p₁ = 14 ứng với x₁ = 1 000, giá tiền p₂ = 13,5 ứng với x₂ = 1 000 + 100 = 1 100.

Do đó, phương trình đường thẳng p(x) = ax + b đi qua hai điểm (1 000; 14) và (1 100; 13,5).

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}14=1000\text{a}+\text{b}\\ 13,5=1100\text{a}+\text{b}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\text{a}=-\frac{-1}{200}\\ \text{b}=19\end{array}$ (thỏa mãn).

Vậy hàm cầu là: p(x) $=-\frac{1}{200}\text{x}+19.$

b) Vì p $=-\frac{1}{200}\text{x}+19\Rightarrow$ x = –200p + 3 800.

Hàm doanh thu từ tiền bán ti vi là:

R(p) = px = p(−200p + 3 800) = −200p² + 3 800p.

Để doanh thu là lớn nhất thì ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: R′(p) = −400p + 3 800, R′(p) = 0 $\iff \text{p}=\frac{-19}{2}$.

Bảng biến thiên:

Vậy công ty nên giảm giá số tiền một chiếc ti vi là: $14-\frac{19}{2}=4,5$ (triệu đồng) thì doanh thu là lớn nhất.

c) Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là:

$R\left(x\right)=x.p\left(x\right)=x.\left(\frac{-1}{200}x+19\right)=\frac{-x^2}{200}+19x$ (triệu đồng).

Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là:

$P\left(x\right)=R\left(x\right)-C\left(x\right)=\frac{-x^2}{200}+19x-12000+3x=\frac{-x^2}{200}+22x-12000$ (triệu đồng).

Để lợi nhuận là lớn nhất thì P(x) là lớn nhất.

Ta có: $P\text{'}\left(x\right)=\frac{-x}{100}+22,P\text{'}\left(x\right)=0\iff x=2200$.

Bảng biến thiên:

Vậy có 2 200 ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất.

Số ti vi mua tăng lên là: 2 200 – 1 000 = 1 200 (chiếc).

Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là: $14-0,5.\frac{1200}{100}=8$ (triệu đồng).