Một nhà sản xuất sử dụng mô hình toán học để thiết kế một dòng ghế ngã lưng thư giãn cao cấp. Hình dáng của mặt ghế được mô tả bằng đồ thị của hàm số: y = f(x) = (2/3)a^2 x^3 − 4ax^2 + 6x − 1

Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right):\)\(f'\left( x \right) = 2{a^2}{x^2} - 8ax + 6 = {a^2}{x^2} - 4ax + 3 = 0\)
Đặt \(t = ax\), ta có phương trình mới: \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = 3}\end{array}} \right.\). Vì \(a > 0\)nên ta có được hoành độ của hai điểm cực trị là:
Điểm cực đại là điểm lồi cao nhất: \({x_1} = \frac{1}{a}\)
Điểm cực tiểu là điểm lõm thấp nhất: \({x_2} = \frac{3}{a}\)
Tại \({x_1} = \frac{1}{a}\): \(f\left( {\frac{1}{a}} \right) = \frac{2}{3}{a^2}\left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right) - 4a\left( {\frac{1}{{{a^2}}}} \right) + 6\left( {\frac{1}{a}} \right) - \frac{1}{a} = \frac{2}{{3a}} - \frac{4}{a} + \frac{6}{a} - \frac{1}{a} = \frac{5}{{3a}}\)
Tại \({x_2} = \frac{3}{a}\): \(f\left( {\frac{3}{a}} \right) = \frac{2}{3}{a^2}\left( {\frac{{27}}{{{a^3}}}} \right) - 4a\left( {\frac{9}{{{a^2}}}} \right) + 6\left( {\frac{3}{a}} \right) - \frac{1}{a} = \frac{{18}}{a} - \frac{{36}}{a} + \frac{{18}}{a} - \frac{1}{a} = - \frac{1}{a}\)
Khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai điểm này là:
\(\Delta y = f\left( {\frac{1}{a}} \right) - f\left( {\frac{3}{a}} \right) = \frac{5}{{3a}} - \left( { - \frac{1}{a}} \right) = \frac{8}{{3a}}\)
Theo đề bài, độ sau lòng ghế là \(40\)cm.
Vì \(1\)đơn vị \( = 10\)cm, nên độ sâu tương ứng trên đồ thị là \(4\)đơn vị: \(\frac{8}{{3a}} = 4 \Rightarrow a = \frac{2}{3}\left( 1 \right)\)
Khoảng cách theo phương ngang giữa hai điểm cực trị là: \(\Delta x = {x_2} - {x_1} = \frac{3}{a} - \frac{1}{a} = \frac{2}{a}\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\)ta được: \(\Delta x = \frac{2}{{\frac{2}{3}}} = 3\)(đơn vị) nên chiều dài thực tế là: \(3.10 = 30\)cm
Vậy chiếc ghế được sản xuất sẽ phù hợp nhất với người có chiều dài đùi là cm