Một nhà sản xuất độc quyền một loại bánh gia truyền để bán ra thị trường trong dịp Tết năm nay. Qua thăm dò và nghiên cứu thị trường biết lượng cầu về loại hàng này là một hàm số Q D ( P ) =

Điều kiện: \(Q \ge 0,P \ge 0,Q \in \mathbb{N}\).

Xét phương trình \(C'\left( Q \right) = 0 \Leftrightarrow 3{Q^2} - 154Q + 1000 = 0 \Leftrightarrow Q \approx 43,7\)

Ta thấy \(C\left( Q \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;43,7} \right)\) và đồng biến trên \(\left[ {43,7; + \infty } \right)\).

Điều này nghĩa là nếu số sản phẩm bán ra tối ưu không vượt quá \(43\) tức ta nên sản xuất 43 sản phẩm, nếu số sản phẩm bán ra tối ưu vượt quá 43, ta nên sản xuất số sản phẩm đó.

Ta có: \({Q_D}\left( P \right) \le 43 \Rightarrow P \ge 1226\) và \({Q_D}\left( P \right) \ge 44 \Rightarrow P \le 1224\)

Gọi \(L\left( P \right)\) là lợi nhuận khi có giá là \(P\) thì ta có:

\(L\left( P \right) = \left\{ \begin{array}{l}P\left( {656 - \frac{P}{2}} \right) - \left[ {{{\left( {656 - \frac{P}{2}} \right)}^3} - 77{{\left( {656 - \frac{P}{2}} \right)}^2} + 1000\left( {656 - \frac{P}{2}} \right) + 100} \right],P \le 1224\\P\left( {656 - \frac{P}{2}} \right) - C\left( {43} \right),P \ge 1226\end{array} \right.\)

Khi ấy suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1224} \right]} L\left( P \right) = L\left( {1208} \right) = 78316\) tương ứng với sản lượng 52 (bán ra 52)

Và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1226; + \infty } \right)} L\left( P \right) = L\left( {1226} \right) = 72484\) tương ứng với sản lượng 43 (bán ra 43)

Vậy mức sản lượng cho ra lợi nhuận cao nhất là \(52\).