Một nhà máy sản xuất x sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất x sản phẩm được cho bởi hàm chi phí C ( x ) = 16 000 + 500 x − 1 , 6 x^2 + 0 , 004 x^3 (nghìn đồng).

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1700 - 7x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < \frac{{1700}}{7}\).

Doanh thu được khi công ty sản xuất và tiêu thụ hết \(x\) sản phẩm là \(R\left( x \right) = xp\left( x \right) = 1700x - 7{x^2}\).

Do đó, lợi nhuận thu được là

\(P\left( x \right) = xp\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = 1700x - 7{x^2} - \left( {16\,000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}} \right)\)

\(P\left( x \right) =  - 0,004{x^3} - 5,4{x^2} + 1200x - 16\,000\), \(0 < x < \frac{{1700}}{7}\).

\(P'\left( x \right) =  - 0,012{x^2} - 10,8x + 1200\); \(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 0,012{x^2} + 10,8x + 1200 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1000\\x = 100\end{array} \right.\).

Đối chiếu điều kiện ta có \(x = 100\).

Lập bảng biến thiên của hàm số, ta thu được kết quả là

\(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{{1700}}{7}} \right)} P\left( x \right) = P\left( {100} \right) = 46\,000\) (nghìn đồng).

Vậy công ty cần sản xuất 100 sản phẩm thì lợi nhuận thu được là cao nhất.