Một nhà máy sản xuất thép HRC sử dụng hệ thống kiểm định chất lượng lỗi gồm hai cảm biến S1 và S2 hoạt động độc lập, tỷ lệ thép thực tế bị lỗi là 10%. Quy trình loại bỏ phế phẩm được thực hiệ

Gọi \(A\) là biến cố : cuộn thép ấy bị lỗi \( \Rightarrow P\left( A \right) = 10\%  = 0,1 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,1 = 0,9\).

Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là biến cố: Cảm biến 1 báo lỗi và cảm biến 2 báo lỗi.

Gọi \(B\) là biến cố: Cuộn thép ấy bị loại

Do đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{P\left( {{S_1}|A} \right) = 0,9}\\{P\left( {{S_2}|A} \right) = 0,8\,}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{P\left( {{S_1}|\overline A } \right) = 0,1\,\,}\\{P\left( {{S_2}|\overline A } \right) = 0,05}\end{array}} \right.\).

Vì \({S_1},{S_2}\) độc lập với điều kiện \(L\) nên xác suất để cuộn thép bị loại trong điều kiện nó bị lỗi là:
\(P\left( {B|A} \right) = P\left( {{S_1}|A} \right).P\left( {{S_2}|A} \right) = 0,9.0,8 = 0,72\)

Từ đó, xác suất để cuộn thép bị loại trong điều kiện nó không bị lỗi là :

\(P\left( {B|\overline A } \right) = P\left( {{S_1}|\overline A } \right).P\left( {{S_2}|\overline A } \right) = 0,1.0,05 = 0,005\)

Xác suất cuộn thép ấy bị loại:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( A \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1.0,72 + 0,9.0,05 = 0,0765\)

Theo định lý Bayes, ta được:

\(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,9.0,005}}{{0,0765}} \approx 0,06\)