Một nhà máy sản xuất hóa chất có hàm doanh thu từ việc bán x tấn hóa chất là R(x) = 200x − x^2 (triệu đồng) và hàm chi phí sản xuất là C(x) = 80x + 1000 (triệu đồng). Để hạn chế ô nhiễm, nhà

Gọi \(x\)là sản lượng hóa chất sản xuất(\[x > 0\], đơn vị: tấn)

Lợi nhuận thực tế \(P\left( x \right)\)được tính theo công thức:\(P\left( x \right) = [R\left( x \right) - C\left( x \right) - {T_{mt}}\left( x \right)].\left( {1 - 20\% } \right)\)

Ta xét hai trường hợp của sản lượng\(x\):

Trường hợp 1:\(0 < x \le 40\) (không đóng thuế môi trường)

Khi đó\({T_{mt}}\left( x \right) = 0\). Hàm lợi nhuận trước thuế thu nhập là:

\({f_1}\left( x \right) = \left( {200x - {x^2}} \right) - \left( {80x + 1000} \right) =  - {x^2} + 120x - 1000\)

Đây là hàm số parabol bề lõm hướng xuống nên đạt giá trị cực đại tại \(x =  - \frac{{120}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 60 > 40\left( l \right)\)

Trên khoảng\(\left( {0;40} \right]\), hàm số \({f_1}\left( x \right)\)đồng biến. Do đó, giá trị lớn nhất đạt được tại\(x = 40\):

\({f_1}\left( {40} \right) =  - {\left( {40} \right)^2} + 120.40 - 1000 = 2200\)(triệu đồng)

Trường hợp 2: \(x > 40\)(phải đóng thuế môi trường)

Thuế môi trường là \(10\left( {x - 40} \right)\) triệu đồng thì hàm lợi nhuận trước thuế thu nhập là:

\({f_2}\left( x \right) = \left( {200x - {x^2}} \right) - \left( {80x + 1000} \right) - 10\left( {x - 40} \right) =  - {x^2} + 110x - 600\)

Đây là hàm số parabol bề lõm hướng xuống nên đạt giá trị cực đại tại \(x =  - \frac{{110}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 55 > 40\left( n \right)\)

\({f_2}\left( {55} \right) =  - {\left( {55} \right)^2} + 110.55 - 600 = 2425\)(triệu đồng)

Vì\(2425 > 2200\), nên lợi nhuận thực tế sẽ đạt giá trị lớn nhất khi nhà máy sản xuất  tấn hóa chất.