Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000 cm^3. Muốn chi phí nguyên liệu làm vỏ thùng ít nhất tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ

Gọi \(r\)là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao của thùng sơn đã cho.

Theo giả thiết, thùng sơn có dungtích \(1000\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên ta có \(V = 1000 \Leftrightarrow \pi \,.\,\,{R^2}\,.\,h = 1000\)

Diện tích toàn phần của thùng sơn có nắp đậy là \({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\({S_{tp}} = \pi (2{{\rm{r}}^2} + rh + rh) \ge \pi .\,\,3.\,\,\sqrt[3]{{2{{\rm{r}}^2}.\,\,rh\,.\,\,rh}} = 3\pi \sqrt[3]{{2{{\rm{r}}^4}.\,\,{h^2}}} = 3\pi \,.\,\,\sqrt[3]{{2\,.\,\,{{\left( {\frac{{1000}}{\pi }} \right)}^2}}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(2{{\rm{r}}^2} = rh \Rightarrow h = 2{\rm{r}}\)

Mà \({r^2}h = \frac{{1000}}{\pi }\)

\(2{r^3} = \frac{{1000}}{\pi }\)

\(r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}}\)

Vậy để diện tích toàn phần của thùng sơn nhỏ nhất thì  $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$