Một nhà máy muốn sản xuất loại kẹo Chocolate hình cầu đặc có đường kính \({\rm{3}}\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Cấu tạo viên kẹo gồm phần nhân sữa dẻo có dạng hình nón nội tiếp bên trong (Đỉnh và đườ
11/11
Một nhà máy muốn sản xuất loại kẹo Chocolate hình cầu đặc có đường kính \({\rm{3}}\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Cấu tạo viên kẹo gồm phần nhân sữa dẻo có dạng hình nón nội tiếp bên trong (Đỉnh và đường tròn đáy nằm trên bề mặt của quả cầu) và phần vỏ Chocolate bao phủ bên ngoài (như hình vẽ). Vì giá thành nhập nguyên liệu Chocolate cao hơn sữa dẻo, nhà máy cần thiết kế kích thước phần nhân sao cho lượng Chocolate sử dụng cho mỗi viên kẹo là ít nhất. Hãy xác định chiều cao của phần nhân hình nón để tối ưu hóa chi phí sản xuất.
Gọi \(R\) là bán kính hình cầu và \(r\) là bán kính đáy của hình nón.
Gọi \(O\) là tâm của mặt cầu và \(I\) là tâm của đường tròn đáy hình nón.
Đặt \(SI = h\). Khi đó ta có \(OI = h - R\)
Tam giác \(IBO\) vuông tại \(I\) nên ta theo định lý Pythagore ta có
\({r^2} = I{B^2} = O{B^2} - O{I^2} = {R^2} - {\left( {h - R} \right)^2} = 2Rh - {h^2}\)
Thể tích của phần nhân hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}h\left( {2Rh - {h^2}} \right)\)
Phần vỏ Chocolate phía ngoài viên kẹo chính là phần hình cầu có bán kính \(R = 1,5\,\,{\rm{cm}}\) và là phần phía ngoài của nhân hình nón. Để lượng Chocolate dùng làm kẹo ít nhất thì thể tích nhân hình nón phải lớn nhất.
Với ba số dương \[a\], \[b\], \[c\] thì ta có:
\({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\)\( = {\left( {a + b} \right)^3} + {c^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - 3abc\)\( = \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\)\( = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)\)\( = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] \ge 0\)
Do đó \({a^3} + {b^3} + {c^3} \ge 3abc,\) đặt \(a = \sqrt[3]{x},\)\(b = \sqrt[3]{y},\)\(c = \sqrt[3]{z}\)\( \Rightarrow x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}\)\( \Rightarrow xyz \le {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3},\) đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c\) hay \(x = y = z\) (*).
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
\(h\left( {2Rh - {h^2}} \right) = \frac{1}{2}h.h\left( {4R - 2h} \right) \le \frac{1}{2}{\left( {\frac{{h + h + 4R - 2h}}{3}} \right)^3} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{4R}}{3}} \right)^3}\)
Do đó ta có \(V \le \frac{\pi }{6}{\left( {\frac{{4R}}{3}} \right)^3}\), dấu “=” xảy ra khi \(h = 4R - 2h\) hay \(h = \frac{{4R}}{3} = \frac{{4.1,5}}{3} = 2\,\,\left( {cm} \right)\)
Vậy chiều cao của phần nhân để thể tích Chocolate nguyên liệu dùng làm kẹo cầu là ít nhất khi \(h = 2\,\left( {cm} \right)\).