Một nhà máy cần sản xuất một loại bao bì bằng bìa để đựng sản phẩm của mình

Giải chi tiết:

- Xét phương án 1: Bao bì có dạng hình trụ:

Gọi đáy của hình trụ là hình tròn có bán kính \(R > 0.\) Khi đó chiều cao của hình trụ bằng \(h = \frac{{S - 2{S_{{\rm{bottom}}}}}}{{{C_{{\rm{bottom}}}}}} = \frac{{S - 2\pi {R^2}}}{{2\pi R}}\)

Từ đó suy ra thể tích hình trụ là \({V_{{\rm{cylinder}}}} = \pi {R^2}h = \frac{{ - 2\pi {R^3} + SR}}{2} \Rightarrow {V'_{{\rm{cylinder}}}}(R) = \frac{{ - 6\pi {R^2} + S}}{2}\)

Cho \({V'_{{\rm{cylinder}}}}(R) = \frac{{ - 6\pi {R^2} + S}}{2} = 0 \Leftrightarrow R = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} .\)

Xét hàm số \(V\left( R \right),\) kẻ bảng biến thiên, ta xác định được thể tích hình trụ lớn nhất là \({V_{{\rm{cylinder}}\_{\rm{max}}}} = \frac{S}{3} \cdot \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} \) khi \(R = \sqrt {\frac{S}{{6\pi }}} \)

- Xét phương án 2: Bao bì có dạng hình hộp chữ nhật:

Gọi đáy của hình hộp là hình vuông có cạnh \(a > 0.\) Khi đó chiều cao của hình hộp bằng \(h = \frac{{S - 2{S_{{\rm{bottom}}}}}}{{{C_{{\rm{bottom}}}}}} = \frac{{S - 2{a^2}}}{{4a}}\)

Từ đó suy ra thể tích hình hộp là \({V_{{\rm{box}}}} = {a^2}h = \frac{{ - 2{a^3} + Sa}}{4} \Rightarrow {V'_{{\rm{box}}}}(a) = \frac{{ - 6{a^2} + S}}{4}\)

Cho \({V'_{{\rm{box}}}}(a) = \frac{{ - 6{a^2} + S}}{4} = 0 \Leftrightarrow a = \sqrt {\frac{S}{6}} \)

Xét hàm số \(V\left( R \right),\) kẻ bảng biến thiên, ta xác định được thể tích hình hộp lớn nhất là \({V_{{\rm{box}}\_{\rm{max}}}} = \frac{S}{6} \cdot \sqrt {\frac{S}{6}} \) khi \(a = \sqrt {\frac{S}{6}} .\)

- Từ hai trường hợp, ta suy ra thể tích lớn nhất có thể tạo thành khi sử dụng phương án làm hộp dạng hình trụ. Khi đó, thể tích cần tìm là

\({V_{\max }} = \frac{{250}}{3}\sqrt {\frac{{250}}{{6\pi }}} \approx 303,49{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\)

Đáp án: \(303.\)